Page personnelle de Damien Thomine

Maître de conférences à l'université Paris-Saclay (Orsay)

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Voici une partie du matériel des cours auxquels j'ai pu participer, à l'université de Rennes 1 comme à l'université Paris-Sud, classés par niveau à peu près croissant. Les cours de l'année courante sont disponibles à partir de la page enseignement.

Compléments de géométrie (Cours-TD, PCSO)

Ce cours constitute une brève introduction à la théorie des graphes, dont voici le syllabaire. Voici un lexique ; on peut aussi se référer à ce vocabulaire illustré de théorie des graphes, ainsi qu'à ce mode d'emploi des matrices d'adjacence.

Les feuilles de TD :

• TD 1 : Propriétés fondamentales des graphes.
• TD 2 : Cycles eulériens et hamiltoniens.
• TD 3 : Matrices d'adjacence.
• TD 4 : Graphes planaires et polyèdres.

Les devoirs et examens :

• Un devoir maison et son corrigé.
• Trois sujets d'examens : sujet 1, sujet 2 (et son corrigé), sujet 3.

Géométrie (Cours et TD, PCSO)

Vous trouverez ici le matériel du cours de géométrie de premier semestre de la Préparation aux Cursus Scientifiques d'Orsay, sur la trigonométrie, les vecteurs, et la géométrie du plan. En voici le résumé.

Les feuilles de TD :

• TD 1 : Trigonométrie.
• TD 2 : Points et vecteurs du plan.
• TD 3 : Equations de droites.

Deux feuilles d'exercices à préparer chez soi pour évaluation en classe :

• CC 1 : Trigonométrie.
• CC 2 : Points et vecteurs du plan.

Deux sujets d'examen, y compris un corrigé du premier :

• DS 1 : Trigonométrie et vecteurs.
• Le corrigé du DS 1.
• DS 2 : Vecteurs et équations de droites.

Mathématiques et statistiques appliquées (Cours et TD, IUT de Sceaux, TC1, Année 1)

Vous trouverez ici le matériel d'un cours de mathématiques et statistiques appliquées. Ce cours est en deux parties : une partie de mathématiques financières (évolutions à taux constant) et une partie de statistiques descriptives. Cette séquences était accompagnées de fiches d'exercices WIMS hebdomadaires, ici absentes.

Le programme :

• Un programme détaillé, semaine par semaine (la semaine 2 ayant été annulée).
• Une collection d'exercices-types corrigés.

Les présentations utilisées en cours (complétées) :

• Cours 1 : Puissances, logarithmes, et évolution à taux constant.
• Cours 2 : Eléments de mathématiques financières.
• Cours 3 : Présentation de données.
• Cours 4 : Paramètres de position.
• Cours 5 : Paramètres de dispersion.

Les feuilles de TD :

• Le TD 1 et son corrigé : Systèmes linéaires.
• Le TD 2 et son corrigé : Puissances, logarithmes, et évolution à taux constant.
• Le TD 3 et son corrigé : Eléments de mathématiques financières.
• Le TD 4 et son corrigé : Présentation de données.
• Le TD 5 et son corrigé : Paramètres de position.
• Le TD 6 et son corrigé : Paramètres de dispersion.

Des sujets d'examens :

• Un devoir maison personnalisé, avec ses consignes et son corrigé.
• L'examen final.

Algèbre linéaire 1 (TD, Licence 1)

Un exercice complémentaire sur les transformations hyperboliques.

Probabilités pour l'ingénieur (TD, Licence 3)

Ce cours était assuré par Ludovic Marquis.

Les feuilles de TD :

• TD 1 : Probabilités, ensembles et évènements.
• TD 2 : Probabilité conditionnelle et variables aléatoires.
• TD 3 : Variables aléatoires discrètes.
• TD 4 : Lois continues, lois marginales, lois conditionnelles.
• TD 5 : Inégalités probabilistes et indépendance.
• TD 6 : Convergences de variables aléatoires.

Des sujets d'examens :

• Un devoir maison et sa correction.
• L'examen et sa correction.
• L'examen de rattrapage.

Algèbre (Cours, L3 Mathématiques)

Ce cours d'algèbre de L3 était divisé en quatre chapitre : réduction d'endomorphismes, isométries vectorielles, applications affines et formes quadratiques. Les chapitre 1, 2 (en partie) et 4 sont inspirés de

• P. Caldero et J. Germoni, Histoires hédonistes de groupes et de géométrie, Calvage et Mounet, Paris, 2013. Voir en particulier les chapitres I, III et V.

Une référence pour le troisième chapitre (applications affine) est le cours de géométrie affine de Marie-Claude David, Frédéric Haglund et Daniel Perrin.

Les notes de cours :

• Chapitre 1 : Réduction et invariants de similitude.
• Chapitre 2 : Produits scalaires et isométries vectorielles.
• Chapitre 3 : Espaces et applications affines.
• Chapitre 4 : Formes quadratiques.

Les feuilles de TD :

• TD 1 : Matrices, bases et applications linéaires.
• TD 2 : Etudes et réduction d'endomorphismes.
• TD 3 : Espaces euclidiens, espaces affines.
• TD 4 : Formes quadratiques et matrices symétriques.

Projets de Licence et Master

J'ai pu encadrer plusieurs projets en Licence 3 et Master 1, dont voici certains résultats :

• Un dossier sur les volumes mixtes en Licence 3.
• Un dossier sur le théorème central limite pour les chaînes de Markov en Licence 3.
• Un dossier sur les billards dispersifs planaires en Master 1.

J'ai aussi encadré Thomas Morand dans son stage de Master 2, qui a écrit un mémoire sur les Processus de Galton-Watson en environnement dynamique.

Journées de rentrée de la Fondation Mathématique Jacques Hadamard

J'ai pu présenter un mini-cours de 4h30 intitulé Chaos et comportement aléatoire d'évolutions déterministes à l'occasion de la rentrée des étudiants de masters de la Fondation Mathématique Jacques Hadamard. En voici la (brève) présentation associée.

Formation CAPES (Cours et oraux, M1)

Vous trouverez ici le matériel de plusieurs cours pour la préparation au CAPES de mathématiques.

Axiomes et raisonnements en géométrie

• Le beamer utilisé lors du cours sur les axiomes en géométrie.
• Les routines Geogebra utilisées au cours de la présentation précédente (fichier .zip).
• Les énoncés de travaux pratiques : médiatrices, bissectrices, parallélogrammes, point de Fermat.
• Le beamer utilisé lors du cours sur les vecteurs.

Introduction à la théorie des graphes

• Le beamer utilisé en cours.
• Des exercices variés, ainsi qu'un extrait du Baccalauréat 2015, section ES.
• Un vocabulaire illustré.
• Un mode d'emploi des matrices d'adjacence.
• Une introduction à l'algorithme de Dijkstra.
• Deux polycopiés d'introduction à la théorie des graphes pour la terminale ES : le premier de l'IREM de Luminy, et le second par Eric Sigward.
• Pour finir, un petit théorème de Daniel Perrin, qui donne une condition nécessaire et suffisante pour que la matrice d'adjacence d'un graphe ait de bonnes propriétés spectrales.

TICE

Les deux séances portaient sur la modélisation statistiques avec Geogebra.

• Le TP 1 de statistiques descriptives, son mémo, et le devoir maison associé.
• Le TP 2 sur les intervalles de confiance, son mémo, et le devoir maison associé.

Géométrie (TD, M1)

Thèmes abordés et références

La première partie du cours porte sur les notions de groupe fondamental d'un espace topologique, de revêtement, et de relèvement d'applications. Parmis les références conseillées, citons :

• G. Godbillon, Éléments de topologie algébrique, Hermann, Paris, 1971. Voir en particulier les parties 1 et 2.
• W. S. Massey, Algebraic topology: an introduction, Graduate Texts in Mathematics, Vol. 56. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1977. Voir en particulier les chapitres 2 à 5.
• Les notes de cours de P. Pansu, disponibles sur sa page personnelle. Voir en particulier le chapitre 2.

La seconde partie du cours porte sur la géométrie différentielle et les variétés, ainsi que la théorie de Morse. Les références recommandées sont :

• A. Gramain, Topologie des surfaces, Presses Universitaires de France, Paris, 1971.
• J. W. Milnor, Topology from the differentiable viewpoint, Princeton Landmarks in Mathematics. Princeton University Press, Princeton, NJ, 1997.
• Les notes de cours de P. Pansu, toujours disponibles sur sa page personnelle. Voir en particulier le chapitre 3.

Voici les notes de cours scannées :

• Groupe fondamental et revêtements.
• Variétés et théorie de Morse.

Feuilles de TD

Voici les feuilles d'exercices du TD :

• TD 1 : Topologie générale.
• TD 2 : Indice de lacets.
• TD 3 : Homotopie et théorème de Van Kampen.
• TD 4 : Revêtements.
• TD 5 : Sous-variétés différentielles.
• TD 6 : Espace tangent et champs de vecteurs.
• TD 7 : Brouwer, Sard, Poincaré, Hopf.

Devoirs maison, sujets d'examens

Il y avait de plus deux ou trois devoirs maison au cours du semestre, dont voici les sujets :

• Surfaces plates à singularités : groupes fondamentaux, théorème de van Kampen, caractéristique d'Euler.
• Noeux sur le tore : groupes fondamentaux, théorème de van Kampen, homéomorphismes.
• Suspensions de tores : groupes fondamentaux et revêtements, classification de variétés.
• Grassmaniennes : géométrie différentielle, sous-variétés, immersions.
• Plongements d'espaces projectifs : géométrie différentielle, sous-variétés, immersions.
• Autour de SO(3, R) : géométrie différentielle, espaces quotients.
• Les noeuds toriques sont fibrés : géométrie différentielle, espaces fibrés, homéomorphismes (par Ramanujan Santharoubane).
• Orientabilité et théorème de Sard : théorème de Sard, plongements.
• Fonction de Morse sur l'espace projectif : géométrie différentielle, espaces quotients, fonctions de Morse.

N'oublions pas les devoirs surveillés :

• Partiels : sujet 1, sujet 2, sujet 3, sujet 4, sujet 5.
• Examens : sujet 1, sujet 2, sujet 3, sujet 4, sujet 5.

Formation CAPES (Cours, M2)

Vous trouverez ici le matériel du cours sur les probabilités conditionnelles pour l'année de M2 CAPES de mathématiques. D'autres cours n'ont pas de ressources associées, ou réutilisent le matériel de la section Année des mathématiques ci-dessous.

Paradoxes en probabilités

• Le sujet de TD sur les probabilités conditionnelles et la combinatoire.

Théorie ergodique et systèmes dynamiques (TD, M2)

Vous trouverez ici les feuilles de TD d'un cours de système dynamique et théorie ergodique :

• TD 1 : Ergodicité.
• TD 2 : Chaînes de Markov.
• TD 3 : Opérateurs de transfert.
• TD 4 : Entropie et mesures de Gibbs.
• TD 5 : Rotations et homéomorphismes du cercle.

Séminaire étudiant (M2)

Le thème du séminaire de M2, encadré avec Hugues Auvray, était "Géométrie et dynamique". Trois séries d'exposés était proposées : théorie ergodique et approximation Diophantienne, temps de récurrences linéaire et analyse p-adique, et géométrie kählérienne. Voici les notes de deux exposés de géométrie kählérienne :

• Trousse de survie de géométrie kählérienne.
• Le théorème de plongement de Kodaira.

Préparation à l'agrégation interne (Cours)

Vous trouverez ici le matériel de mes cours d'analyse de la préparation à l'agrégation interne de mathématiques :

• Les informations de rentrée.
• Cours sur l'axiomatique des réels : les notes de cours et une feuille d'exercices.
• Cours sur le développement décimal des réels : un plan de leçon, les notes de cours qui l'accompagnent.
• Cours sur le théorème des valeurs intermédiaires : un plan de leçon, les notes de cours qui l'accompagnent et une feuille d'exercices.
• Cours sur les notions de compacité, continuité et convexité : les notes de cours.
• Cours sur les formules de Taylor : un plan de leçon, les notes de cours qui l'accompagnent et une feuille d'exercices.
• Cours sur l'intégration : après le programme commenté de l'agrégation interne, un plan de leçon, les notes de cours qui l'accompagnent et deux feuilles d'exercices (intégrales de Riemann, intégrales à paramètres).
• Cours sur les séries entières : un plan de leçon, les notes de cours qui l'accompagnent et une feuille d'exercices.
• Cours sur les séries de Fourier : un plan de leçon, les notes de cours qui l'accompagnent, une feuille d'exercices, ainsi que deux développements sur la fonction cotangente et le problème de Basel et sur l'équation de la chaleur.
• Cours sur les équations différentielles : les notes de cours.
• Cours sur l'analyse à plusieurs variables : un plan de leçon, les notes de cours de calcul différentiel qui l'accompagnent, des notes de cours séparées sur les fonctions réelles de plusieurs variables réelles, et une feuille d'exercices.
• Cours sur les difféomorphismes : les notes de cours (difféomorphismes réels, inversion locale, applications complexes conformes).
• Divers programmes informatiques (fichier .zip) : séries de Fourier et équation de la chaleur, quelques méthodes d'intégration numérique, applications conformes, valeurs d'adhérence de suites, tests de primalité.
• Un atelier informatique sur les suites logistiques : les consignes de cet atelier (première partie de l'atelier, et seconde partie), le tableau auxiliaire, et des exemples de programmes. Il peut être utile de s'aider des documents de Daniel Perrin sur les suites à convergence rapide et les suites à convergence lente.

Année des mathématiques (Atelier, Formation continue des enseignants)

A l'occasion de l'année des mathématiques en 2020, une journée de formation était prévue sur le thème des suites à destination des enseignants du secondaire et des étudiants en master MEEF à l'Institut de Mathématique d'Orsay. Cette journée a finalement eu lieu le premier juin 2021.

Le matériel qui suit a été créé à cette occasion pour un atelier. Le principe consiste à manipuler diverses représentations des suites définies par récurrence afin d'explorer leur comportement. Ces représentations sont générées à l'aide de programmes informatiques en langage Python, qui permettent de tracer :

• Le graphe de la suite (c'est-à-dire les points de coordonnées (n, u(n)) ) ;
• Le diagramme en toile d'araignée (ou en escalier) associé à la suite ;
• Les valeurs numériques prises par la suite, avec un grande précision ;
• Le temps mis par la suite pour s'approcher à distance donnée d'un point ;
• L'histogramme des valeur de la suite.

Afin d'éviter les difficultés liées à la paramétrisation des graphiques, les programmes sont donnés tels quels (même s'il peut être intéressant d'en compléter ou adapter certaines parties). Vous les trouverez ici, de même que la documentation associée.

Tout est fait dans le contexte des suites logistiques : suivant le paramètre, une grande variété de comportements est observable. Un tableau est donné pour organiser les observations suivant l'outil utilisé et le paramètre de la suite logistique choisi.

Enfin, les observations possibles sont organisées le long d'un certain nombre de thèmes. Les documents suivants développent certains comportements des suites logistiques, les façons de les observer à l'aide des outils proposés, et quelques formalisations mathématiques de ces comportements :

• Les différentes vitesses de convergence de la suite vers un point fixe ;
• L'équidistribution des valeurs de la suite, temporellement et spatialement, et l'hypothèse ergodique de Boltzmann ;
• Le chaos et l'exposant de Lyapunov ;
• Les points de période 2 et les cascades de bifurcations.

L'ensemble des documents proposés est contenu dans cette archive.