B.1 Actions de groupe

Dans cette section, on rappelle le vocabulaire des actions de groupe. Une action (à gauche) d'un groupe sur un ensemble est un morphisme de groupes de vers le groupe des bijections de . Lorsque cela ne crée pas d'ambigüité, on note simplement l'image d'un élément de par pour dans . Un action à droite de sur est un morphisme de groupes entre et le groupe opposé à , ie. muni de la loi de composition .

L'orbite d'une partie de sous l'action de est l'ensemble . On note l'orbite du singleton . On dit que l'action de est transitive si pour tout dans . Une action de groupe définit une relation d'équivalence sur  : deux points et sont équivalents s'il existe dans tel que , autrement dit, si est dans l'orbite de . Le quotient de par cette relation d'équivalence est noté . À tout point est associé son stabilisateur sous l'action de : , il s'agit d'un sous-groupe de . On dit que l'action de sur est libre si tous les points de ont un stabilisateur trivial (i.e. réduit à l'élément neutre de ).

Munis d'une partie de ce vocabulaire et de la connaissance de l'algèbre linéaire, on peut retrouver de façon concise le cadre naturel de la géométrie élémentaire, celle qui était peuplée de points et de vecteurs avant que tout soit transformé de force en vecteurs. Dans ce cours il est crucial de ne pas mélanger les points et les vecteurs car ce mélange n'est plus possible dans le contexte des variétés. Un espace affine est un ensemble muni d'un action libre et transitive d'un espace vectoriel . On dit aussi que est un espace affine dirigé par . L'action d'un vecteur est notée et appelée translation par . Étant donné deux points et de , on note (ou parfois ) l'unique élément de vérifiant .

Par exemple, l'action par addition d'un espace vectoriel sur lui même le dote canoniquement d'une structure d'espace affine. Cette construction revient essentiellement à oublier l'origine de l'espace vectoriel et à perdre l'addition et la multiplication par un scalaire tout en conservant la soustraction. Si est une application linéaire de dans alors, pour tout dans , est un espace affine dirigé par . Il s'agit naturellement d'un sous-espace affine de vu comme espace affine dirigé par lui-même.

Certains espaces affines ne sont pas naturellement des sous-espaces d'un espace vectoriel. Par exemple, si est un sous-espace vectoriel d'un espace vectoriel alors l'ensemble des supplémentaires de est naturellement un espace affine dirigé par l'espace vectoriel . Notons la projection de sur . Si est un supplémentaire de et est linéaire de dans alors .