9 Finitude, dualité et produits

Dans ce chapitre, on exploite les suites exactes de Mayer-Vietoris non plus pour calculer des exemples de cohomologie mais pour démontrer des résultats de structures sur la cohomologie de de Rham. Un point essentiel pour appliquer cette stratégie est d'avoir un recouvrement des variétés étudiées par des ouverts dont la cohomologie est parfaitement comprise (en pratique des boules) et dont les intersections ont aussi cette propriété. La section 9.2 montre que toutes les variétés compactes admettent de tels recouvrements qui permettent d'espérer une approche combinatoire de la cohomologie de de Rham. On en déduit très facilement que la cohomologie de de Rham de ces variétés est de dimension finie, ce qui n'est pas du tout évident au vu de la définition. En particulier on peut extraire de cette théorie une suite de nombres attachés à une variété compacte  : le -ième nombre de Betti est la dimension de .

De façon beaucoup plus profonde, les mêmes recouvrements, les suites de Mayer-Vietoris et une lemme algébrique de la section 9.1 permettent de mettre à jour dans la section 9.3 une symétrie fondamentale de la cohomologie de de Rham : un isomorphisme explicite entre et où . En particulier . En considérant comme forme linéaire sur l'intégration sur une sous-variété orientée, compacte, sans bord, de dimension , on obtient un classe dans appelée dual de Poincaré de . Cette construction permet de faire le lien entre la théorie du degré du chapitre 4 et la cohomologie de de Rham. Dans le chapitre suivant, ce lien sera étendu à la théorie de l'intersection et la caractéristique d'Euler.

Le chapitre se termine par une application des mêmes idées au calcul de la cohomologie d'un produit, c'est le théorème de Künneth de la section 9.4.