3 Sous-variétés et plongements

Dans ce chapitre, on introduit des outils permettant l'étude des sous-variétés et des plongements entre variétés. L'outil fondamental est l'existence de partitions de l'unité qui permet de passer de constructions locales à des constructions globales. En particulier, il est facile de plonger localement une variété dans un  : les cartes d'un atlas font l'affaire. Les partitions de l'unité permettent un plongement global, comme on l'expliquera dans le cas des variétés compactes.

On étudie ensuite à quoi ressemble globalement un voisinage d'une sous-variété, c'est la notion de voisinage tubulaire. Ici le théorème de plongement évoqué ci-dessus fournit un outil d'étude théorique des variétés en ramenant l'existence des voisinages tubulaires au cas des sous-variétés de . La première conséquence importante de l'existence des voisinages tubulaires est un théorème d'approximation des applications continues entre variétés par des applications lisses. Dans les chapitres suivants, ce résultat permettra de démontrer des théorèmes de topologie pure (portant sur des applications supposées seulement continues) par des méthodes reposant sur le calcul différentiel.

Enfin la dernière section étend le champ d'investigation du cours aux variétés à bord, des espaces localement modelés sur ou sur un demi-espace fermé de et dans lesquels on peut toujours faire du calcul différentiel. Par exemple une boule fermée d'un espace vectoriel est une variété à bord. Les points de la boule ouverte ont des voisinages modelés sur mais les points de la sphère ont des voisinages modelés sur des demi-espaces fermés. Le bord d'une variété à bord est une variété (sans bord). En plus de former une extension naturelle de la classe des variétés, les variétés à bord apparaissent spontanément quand on déforme les applications lisses entre variétés. Ainsi, étant données deux variétés (sans bord) et , une famille d'applications , est naturellement une application de . Mais présente visiblement un bord constitué de et .