Topologie différentielle

4.5 Exercices

Exercice 4.1
On dit que et sont transversales si, pour tout et tel que , on a . Montrer que, dans ce cas, le produit fibré est une sous-variété de . On pourra commencer par montrer que (où et sont les graphes de et ) est transversale à .

Exercice 4.2
Soit une variété compacte à bord. Le but de cet exercice est de montrer qu'il n'existe par de rétraction de sur , c'est à dire pas d'application continue de dans qui soit l'identité sur .

  1. En utilisant un voisinage collier du bord, montrer que l'existence d'une rétraction continue impliquerait l'existence d'une rétraction lisse.

  2. On suppose l'existence d'une rétraction lisse . Montrer que la préimage d'une valeur régulière de est une sous-variété de dimension un proprement plongée dans et dont le bord est connexe non vide.

  3. Conclure.

  4. En déduire le théorème de point fixe de Brouwer : toute application continue de la boule dans elle-même admet au moins un point fixe.

Exercice 4.3
Soit et deux sous-variétés compactes orientées dans une variété orientée. Montrer que et expliciter le signe.

Exercice 4.4
On note les deux pôles de la sphère . Soit les projections stéréographiques associées. On rappelle que le changement de carte associé envoie sur .

  1. Montrer que le champ de vecteurs radial dans poussé par s'étend (de façon unique) en champ de vecteurs lisse sur .

  2. Calculer la caractéristique d'Euler de la sphère .

  3. En déduire le théorème de la boule chevelue de Brouwer : les sphères de dimension paire n'admettent pas de champ de vecteurs continus ne s'annulant pas.

Exercice 4.5
Soit une application polynomiale de degré (au sens de l'algèbre). On identifie à puis au complémentaire d'un point de par projection stéréographique.

  1. Montrer que s'étend continuement en application de dans .

  2. En utilisant l'invariance du degré par déformation, montrer que est de degré (au sens de la topologie différentielle).

  3. En déduire le théorème de d'Alembert-Gauss : est surjectif (en particulier admet au moins une racine).

Exercice 4.6
Soit un champ de vecteurs sur la boule . On suppose que ne s'annule pas sur la sphère et note le degré de .

  1. Montrer que est invariant par homotopie de (parmi les champs de vecteurs ne s'annulant pas sur .

  2. Montrer que si n'est nulle part tangent à alors son degré vaut 1.

  3. Montrer que si ne s'annule pas dans alors son degré est nul.

  4. En déduire le théorème de d'Alembert-Gauss et le théorème de point fixe de Brouwer (en toute dimension).

Exercice 4.7
Soit une variété de dimension non-orientable plongée dans .

  1. Montrer qu'il existe une application transversale sur et dont l'image intersecte en exactement un point.

  2. Montrer que s'étend en application lisse transversale sur .

  3. Montrer que ne saurait être compacte.

Exercice 4.8
Soit et des applications continues entre variétés compactes orientées sans bord. Montrer que . En déduire qu'un homéomorphisme est de degré .