6.2 Formes différentielles

6.2.1 Définition

Les constructions algébriques de la section précédente peuvent naturellement se faire en famille : elle passent sans problème aux fibrés vectoriels au-dessus d'une variété via les techniques du chapitre 2. On obtient en particulier pour chaque variété les fibrés des formes multilinéaires de degré sur les espaces tangents à .

Une forme différentielle de degré est donc la donnée en tout dans d'une forme -linéaire antisymétrique sur . Par exemple toute fonction et une forme différentielle de degré zéro tandis que sa différentielle est une forme différentielle de degré un. Afin de limiter la profusion de parenthèses on écrit le plus souvent plutôt que . De même, on note le plus souvent plutôt que l'évaluation de sur un -uplet de vecteurs . Toujours pour gagner en concision, on utilise aussi la terminologie « -forme différentielle », ou même simplement « -forme », à la place de « forme différentielle de degré  ».

On note l'espace vectoriel des formes différentielles de degré sur . Les définitions des produits intérieur et extérieur étant purement algébriques, elles s'étendent directement. La somme directe

munie du produit extérieur est appelée algèbre différentielle extérieure de . On note le degré d'une forme différentielle .

Le cas particulier des formes différentielles sur un espace affine est important car c'est lui qui intervient lorsqu'on examine la situation dans une carte. Soit un espace affine (réel) de dimension et l'espace vectoriel dirigeant . On rappelle qu'un repère sur est une paire où est un point de et une base de . Un repère fournit un système de coordonnées qui envoie sur et un isomorphisme de fibrés . Traditionnellement, on note la forme différentielle de degré un qui, vue via cet isomorphisme, vaut partout (forme linéaire appartenant à la base duale). Pour un -uplet d'entiers tous compris entre et , on note parfois .

6.2.2 Image réciproque

Les formes différentielles sur les variétés sont des objets naturels au sens où on peut les transporter par les applications entre variétés. Par contre le transport se fait en sens opposé à celui de l'application. On dit que est un foncteur de la catégorie opposée à la catégorie des variétés dans la catégorie des espaces vectoriels réels ¹ . Cette inversion de sens est une généralisation de ce qui arrive dans la définition du dual d'un espace vectoriel et de la transposition.

Le fait que les formes différentielles voyagent en sens opposé à celui des points et des vecteurs est facile à comprendre. Une forme différentielle se nourrit de vecteurs tangents pour fabriquer des nombres. L'application tangente transporte les vecteurs. Elle permet donc de fabriquer une forme différentielle à sa source à partir d'une forme différentielle à son but. Ainsi il est équivalent de faire voyager les vecteurs ou les formes différentielles mais les sens de voyage sont opposés.

Dans le cas des formes différentielles de degré zéro, c'est-à-dire des fonctions (à valeurs réelles), on retrouve l'opération de composition à droite : . De plus cette opération se comporte bien vis-à-vis de la différentiation des fonctions. Si est une fonction sur , sa différentielle est une -forme sur et le théorème de dérivation des fonctions composées donne . On enregistre une trace de cette discussion dans le lemme suivant. Il mentionne aussi la compatibilité avec le produit extérieur, qui est une conséquence directe de sa version purement algébrique.

6.2.3 Formes différentielles à support compact

Le support sur est l'adhérence de l'ensemble des points de pour lesquels n'est pas nul dans . On note la sous-algèbre de formée des formes différentielles à support compact.

En général la propriété d'avoir un support compact n'est pas préservée par image réciproque ; mais c'est le cas si l'application est propre, c'est-à-dire que l'image inverse d'un compact est compacte. Ainsi est un foncteur si on prend comme catégorie de départ , où est la catégorie dont les objets sont toutes les variétés mais dont les flèches sont constituées des applications propres uniquement.