5 Théorie de Morse

Ce chapitre présente une application des outils mis en place dans les quatre chapitres précédents. Il ne sera pas utilisé dans la suite du cours. L'objectif est d'étudier la topologie d'une variété compacte sans bord à partir d'une fonction de dans . On commence par montrer que, pour un ouvert dense de fonctions, la différentielle est transversale sur la section nulle de . En particulier elle ne s'annule qu'en un nombre fini de points, appelés points critiques de . À chacun de ces points on peut associer un entier appelé son indice et qui compte le nombre de directions indépendantes dans lesquelles la valeur de descend. On explique alors comment calculer la caractéristique d'Euler à partir des indices des points critiques de . Tout cela découle facilement de la technologie de transversalité du chapitre précédent et d'un résultat de forme normale connu sous le nom de lemme de Morse.

L'étape suivante pour obtenir des informations plus fines consiste à introduire la notion de pseudo-gradient de . Un pseudo-gradient de est un champ de vecteurs dont le flot fait croître hors des points critiques (la définition vraiment utilisée est bien sûr plus précise). La dynamique de ces flots est très simple grâce au contrôle exercé par . On peut la simplifier encore plus à l'aide des techniques de transversalité puis s'appuyer sur cette dynamique pour simplifier . Après avoir discuté ces simplifications en toute dimension, on expliquera comment en déduire un théorème de structure pour les variétés de dimension 3 : toute variété de dimension 3 compacte sans bord se décompose en deux variétés recollées le long de leur bord commun et qui chacune se rétracte sur un graphe.