On note l'espace des droites de muni de la topologie quotient vu comme . On note la projection de l'ouvert .

1. Montrer que les sont ouverts et que l'application (resp. ) induit un homéomorphisme (resp. ) de (resp. ) sur .

2. Montrer que l'atlas constitué de et est lisse. Dans la suite on munira toujours de la structure de variété correspondante.

3. On note la restriction de la projection à la sphère unité . Montrer qu'il existe des sections de au-dessus des (ie. de applications telles que ).

4. En utilisant que , le groupe des nombres complexes de module 1, agit transitivement sur les fibres de , en déduire que est un -fibré de fibre .

5. Ce fibré semble-t-il trivial ?

Montrer qu'un fibré vectoriel de rang un est trivial si et seulement si il admet une section qui ne s'annule nulle part.

Montrer que le ruban de Möbius n'est pas un fibré trivial.

Soit une submersion d'une variété dans une autre. Soit un point de l'image de et son image réciproque. Montrer que est une sous-variété et décrire son fibré tangent en terme de .

Un groupe de Lie est une variété munie d'une structure de groupe telle que la multiplication est lisse de dans et l'inversion est un difféomorphisme de . On note l'élément neutre de .

1. Montrer que les « translations à gauche » sont des difféomorphismes.

2. Montrer que l'application de dans qui envoit sur est un isomorphisme de fibrés vectoriels au-dessus de (en particulier est trivial).

3. Vérifier que est un groupe.

4. Montrer que l'application de dans défini par

   est un homéomorphisme de sur . En déduire que est trivial.

Montrer que le ruban de Möbius n'est pas orientable (en tant que variété de dimension 2, pas en tant que fibré vectoriel). En déduire que la bouteille de Klein et le plan projectif ne sont pas orientables. Construire une variété de dimension 3 contenant une bouteille de Klein plongée avec un fibré normal trivial.

Soit et deux fibrés vectoriels au-dessus d'une même base . En fonction de trivialisations locales de et , décrire des trivialisations locales de .

Soit un fibré vectoriel au-dessus d'une base et un sous-fibré vectoriel de . Montrer que tout point de est contenu dans un ouvert au-dessus duquel on a une trivialisation locale qui identifie à .