B.2 Formes quadratiques

Dans cette section on rappelle la classification des formes quadratiques sur les -espaces vectoriels de dimension finie (une classification qui a mystérieusement disparu des programmes des classes préparatoires en 2003).

Soit un -espace vectoriel de dimension finie. On note l'espace vectoriel des formes bilinéaires sur . Chaque dans définit une application linéaire de dans son dual définie par . Par définition, le noyau de est le noyau de . La forme dite non-dégénérée si son noyau est réduit à . On se concentre maintenant sur le sous-espace des formes bilinéaires symétriques. Une forme dans est dite positive (resp. négative) si (resp. ) pour tout . Si de plus seulement pour on dit que est définie positive (resp. définie négative) L'indice de , noté , est la dimension maximale des sous-espaces sur lesquels est définie négative. La signature de est le couple d'entiers où est l'indice et est la dimension maximale des sous-espaces sur lesquels est définie positive. On montre que .

Une forme quadratique sur est une application qui peut s'écrire sous la forme pour . La formule de polarisation

(qu'on peut vérifier simplement en utilisant la bilinéarité et la symétrie de ) montre que est uniquement déterminée par . En particulier on peut attacher tout le vocabulaire du paragraphe précédant à (noyau, non-dégénérée, indice, signature).

Le groupe des applications linéaires inversibles de agit à droite sur par la formule . Le théorème d'inertie de Sylvester affirme que les orbites de cette action sont caractérisées entièrement par la dimension du noyau et l'indice : étant donné deux formes et , il existe telle que si et seulement si et ont même dimension du noyau et même indice. Une autre façon de le dire est qu'elles sont caractérisées par la signature . En particulier les orbites de formes quadratiques non-dégénérées sont caractérisées par l'indice.