9.2 Variétés de type fini
Un bon recouvrement d'une variété est un recouvrement par des ouverts dont toute intersection non vide est difféomorphe à (en fait contractile suffirait mais difféomorphe à vient naturellement dans la construction ci-dessous). Une variété est de type fini si elle admet un bon recouvrement fini.
Ce théorème est localement évident puisque tout point d'une variété admet un voisinage difféomorphe à , qui a un bon recouvrement. Mais il n'est pas évident de passer au résultat global. La démonstration qu'on va présenter repose sur le premier résultat global démontré dans ce cours : le théorème de plongement de Whitney (sans borne sur la dimension). Mais il y a aussi un ingrédient de nature géométrique (par opposition aux arguments purement topologiques) : le résultat de calcul différentiel élémentaire suivant.
On aura aussi besoin d'un résultat classique de topologie, le lemme de recouvrement de Lebesgue (qui n'a rien à voir avec sa construction d'une théorie de l'intégration).
Dans le contexte de l'énoncé ci-dessus, on dit que est un nombre de Lebesgue du recouvrement par les . La conclusion implique bien sûr que toute partie de diamètre inférieur à est incluse dans l'un des .
Soit une variété compacte. D'après le théorème 3.3, il est loisible de supposer que est une sous-variété d'un espace euclidien . Soit un atlas de sous-variété pour . Chaque est un difféomorphisme sur son image et pour un sous-espace vectoriel de dimension . Par compacité de , on peut supposer cet atlas fini et, quitte à réduire les sans qu'ils cessent de recouvrir , on peut supposer que les sont relativement compacts et que toutes les normes des différentielles premières et secondes des et leurs inverses sont bornées par une certaine constante . Soit un rayon strictement positif inférieur au rayon fourni par le lemme de convexité 9.3 et qui est un nombre de Lebesgue du recouvrement de la réunion des adhérences par les , fourni par le lemme 9.4.
Pour tout dans , on pose , la boule utilisée étant une boule euclidienne de l'espace ambiant . Montrons que la famille des forme un bon recouvrement (dont on peut ensuite extraire un bon recouvrement fini par compacité de ). Soit des points de . On note pour alléger l'écriture. Supposons non vide l'intersection . Par inégalité triangulaire, tous les sont dans la boule . Cette dernière est dans l'un des ouverts de carte . On a :
donc est un ouvert convexe non vide dans , donc .
Avec le théorème 9.2, on peut obtenir des ouverts suffisamment petits pour être contenus dans des ouverts de trivialisation locale de n'importe quel fibré. Ainsi un fibré à fibres de type fini au-dessus d'une variété de type fini est de type fini. En particulier cela démontre le corollaire suivant.
Comme promis, l'existence d'un recouvrement combinatoire permet d'obtenir des résultats de structure de la cohomologie de de Rham. Le plus grossier, mais néanmoins fondamental est le théorème de finitude suivant.
Ce résultat n'a rien d'évident puisque les espaces de formes différentielles fermées ou exactes sont de dimension infinie dans tous les cas (sauf si la variété étudiée est de dimension zéro…). Avant de démontrer ce théorème, on a en extrait des invariants numériques des variétés qui ont précédé historiquement toute théorie homologique ou cohomologique.
On explique le cas de la cohomologie de de Rham, sans condition de support, le cas du support compact étant complètement analogue, en utilisant le théorème 8.6 en lieu et place du théorème 8.4 (ce sont les deux variantes de la suite exacte de Mayer-Vietoris).
On déjà vu dans le corollaire 7.9 que la cohomologie de de Rham de est de dimension finie. C'est donc le cas de tous les ouverts et intersections d'ouverts d'un bon recouvrement d'une variété de type fini. On démontre le théorème par récurrence sur le nombre d'ouverts d'un bon recouvrement. Le cas d'un seul ouvert est celui de . Supposons donc le théorème acquis jusqu'à ouverts. Soit une variété ayant un bon recouvrement par ouverts . On pose et . On remarque que a un bon recouvrement par un ouvert, a un bon recouvrement par ouverts et que aussi, les ouverts étant les . Or la suite exacte longue de Mayer-Vietoris contient pour tout
où les premier et troisième termes sont de dimension finie par hypothèse de récurrence. Donc , qui est isomorphe à , est de dimension finie. De plus est égal à donc de dimension finie.