8.1 Suites exactes courtes et longues
Cette section est la suite de la section 7.1. On y présente le théorème fondamental de l'algèbre homologique : une suite exacte courte de complexes induit une suite exacte longue en cohomologie. Comme dans section 7.1, on note un anneau commutatif unitaire mais seul le cas sera utile dans ce cours. On rappelle qu'un -module est l'analogue d'un espace vectoriel lorsqu'on remplace le corps des scalaires par un anneau.
Pour décrire les relations annoncées dans l'introduction du chapitre, même si les ouverts de la décomposition sont compliqués, il faut introduire la notion de suite exacte. Une suite de -modules est une famille de modules indexée par un intervalle d'entiers naturels et munie d'une suite de morphismes . On dit qu'une telle suite est exacte en si . On dit qu'elle est exacte si elle est exacte en pour tout . En particulier toute suite exacte de -modules est un complexe de -modules et la cohomologie d'un complexe de -modules mesure son défaut d'exactitude.
De façon plus élémentaire, on peut exprimer l'injectivité ou la surjectivité d'un morphisme de modules en termes de suites exactes. Un morphisme est surjectif si et seulement si la suite est exacte. Il est injectif si et seulement si est exacte. Il est donc bijectif si et seulement si est exacte. On appelle suite exacte courte une suite exacte de la forme
Une telle suite présente comme quotient de par (plus exactement injecte dans et induit un isomorphisme de vers ).Une suite exacte de complexes est une famille de complexes de -modules indexée par un intervalle d'entiers et une famille de morphismes de complexes telle que, pour tout fixé, est une suite exacte de -modules. On peut dire que l'énoncé suivant est le théorème fondamental de l'algèbre homologique, il affirme qu'une suite exacte courte de complexes engendre une suite exacte longue en cohomologie.
On commence par une observation plus élémentaire dont la démonstration est laissée en exercice.
La démonstration complète de ce lemme est extrêmement fastidieuse. On se contente d'en donner des extraits choisis pour illustrer la technique dite de « chasse dans le diagramme ».
Le lemme 8.2 fournit, de façon unique, les morphismes entre noyaux et les morphismes entre conoyaux du diagramme visé. Montrons que est une suite exacte. La flèche de dans n'est autre que la restriction de . Soit un élément de . Si pour dans alors par exactitude de . Réciproquement si alors la même exactitude implique pour un certain dans . Il suffit de montrer que ce est automatiquement dans . Cela découle de la commutativité du carré à gauche du diagramme de départ : , qui implique , et de l'injectivité de .
Montrons maintenant que est bien défini. Soit un élément de . Puisque est surjective, il existe un élément de . Par commutativité du carré à droite du diagramme de départ, et par exactitude de la ligne du bas en , il existe dans . De plus ce est unique ( étant fixé) car est injective. Il reste à voir que si et vérifient tous deux alors dans . Par hypothèse est dans . L'exactitude de la ligne du haut fournit tel que . La commutativité du carré de gauche assure que et on obtient qui s'annule dans le quotient .