Topologie différentielle

A Rappels de topologie

Dans ce cours il est commode de pas trop s'attacher à une distance sur un espace mais plutôt se concentrer sur ses ouverts. La définition suivante est plus générale que celle d'espace métrique mais surtout permet de se concentrer sur l'essentiel.

Définition A.1
Un espace topologique est un ensemble muni d'un collection de parties de , appelées ouverts, vérifiant :

  • Le vide et l'ensemble sont des ouverts de

  • Toute réunion d'ouverts de est ouverte

  • Toute intersection d'un nombre fini d'ouverts de est ouverte.

Les fermés de sont, par définition, les complémentaires des ouverts. En particulier le vide, , une intersection de fermés et une réunion finie de fermés sont fermés.

Un voisinage d'un point dans est un ensemble contenant un ouvert contenant .

Définition A.2
Un espace topologique est séparé si, pour tous points et de , il existe des ouverts disjoints et contenant et respectivement. Il est compact s'il est séparé et si tout recouvrement de par des ouverts admet un sous-recouvrement fini (respectivement localement fini). Il est localement compact si tout point admet un voisinage compact. Il est -compact s'il est réunion dénombrable de compacts.

La topologie induite par un espace topologique sur une partie est la topologie dont les ouverts sont les intersections de et des ouverts de . Si et sont deux espaces topologiques, la topologie produit sur est la plus petite topologie contenant pour tout ouvert de et de .

À toute relation d'équivalence sur un espace topologique est associée une topologie quotient sur . En notant la projection de sur , un partie de est déclarée ouverte si est ouverte. Il s'agit donc de la plus grande topologie pour laquelle est continue. Il faut bien faire attention au fait que l'image d'un ouvert par n'est pas forcément ouverte et que la séparation de ne garantit pas celle du quotient.

Proposition A.3
Un espace topologique séparé, localement compact et -compact est métrisable : il existe une distance sur définissant la topologie de .

Bien que la proposition ci-dessus garantisse que toutes les variétés sont métrisables, il est bien plus naturel de ne pas chercher à revenir explicitement à une distance, en particulier dans le cas des quotients.