6.3 Intégration
Soit un ouvert de et une -forme à support compact dans . Pour tout mesurable , on définit comme l'intégrale sur de la fonction où les sont les vecteurs de la base canonique de .
Le lemme suivant, qui est une reformulation du théorème de changement de variable, justifie cette définition. Comme on va le voir, il permet l'intégration des formes différentielles sur les variétés.
Ce lemme utilise implicitement le fait que tout difféomorphisme de envoie les ensembles mesurables sur des ensembles mesurables. La même remarque montre qu'il existe une notion bien définie d'ensemble mesurable dans une variété : un ensemble est mesurable si ses images par toutes les cartes d'un atlas dénombrable est mesurable. Dans ce cours on intégrera presque toujours sur la variété entière ou, plus rarement, sur des ouverts ou des fermés.
elle coïncide avec l'intégration définie ci-dessus quand est un ouvert de
pour tout difféomorphisme préservant l'orientation entre deux variétés orientées et , .
Soit un atlas orienté de . Le théorème 3.1 fournit une partition de l'unité subordonnée au recouvrement . On note et on pose, pour toute -forme à support compact dans :
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On va montrer que le nombre ainsi défini ne dépend ni du choix de l'atlas ni de celui de partition de l'unité. Pour alléger les notations, on va supposer dans toute la suite que (et donc ).
Soit donc un autre atlas orienté de et une partition de l'unité subordonnée. Par définition, la réunion de ces deux atlas est encore un atlas orienté, donc pour tous et , le changement de carte est un difféomorphisme préservant l'orientation de dans . De plus on a sur .
On peut alors comparer les deux constructions de l'intégrale :
La formule de changement de variable découle de cette propriété par transport de structure. En effet, si est un difféomorphisme de dans alors tout atlas et toute partition de l'unité subordonnée sur fournit un atlas et une partition de l'unité que l'on peut utiliser pour calculer :
Le fait qu'on retrouve l'intégration définie sur est aussi une conséquence de la construction: il suffit de choisir l'atlas tautologique.
L'unicité est claire car les conditions demandées imposent la validité de l'équation None de départ.
On peut maintenant atteindre l'objectif d'intégrer des formes de degré quelconque sur une sous-variété de dimension .
La naturalité de l'intégration des formes différentielles, c'est-à-dire l'invariance par difféomorphisme dans le théorème 6.7, assure que, pour tout plongement propre et toute forme sur de degré , l'intégrale de sur ne dépend que de l'image de (et de bien sûr, mais pas de la façon dont paramètre son image). Par ailleurs il faut noter que l'intégrale de est toujours bien définie, même si est très singulière, et toujours invariante sous l'action des difféomorphismes à la source.
On termine cette section en mentionnant comment les produits intérieurs et extérieurs s'interprètent, dans les cas les plus simples, en termes d'intégration.
Soit et des variétés orientées, et des formes différentielles à support compact de degré maximal sur et respectivement. On peut tirer en arrière et par les projections et de sur et respectivement pour obtenir des formes différentielles sur le produit. Si on munit ce dernier de l'orientation produit alors le théorème de Fubini donne :
Cependant il faut noter que, même localement, une forme différentielle n'a en général pas de telle décomposition. Par exemple la 2-forme sur ne se décompose pas en produit extérieur de formes tirées en arrière depuis les deux facteurs, sauf si peut s'écrire .
On passe maintenant au cas du produit intérieur. Soit un champ de vecteurs sur une variété et son flot. Soit une sous-variété de dimension de et une forme de degré sur . On suppose que le flot est bien défini sur où est un segment. La définition du flot entraîne que et, par exemple en examinant la situation dans des cartes de , on obtient via le théorème de Fubini
Dans le cas où plonge , par exemple si est tranversal à et est assez petit, on peut réécrire le membre de gauche et on obtient le dessin 6.1.
