Une métrique riemanienne sur une variété est un champ de produits scalaires sur le fibré tangent. Plus précisement, est une section (lisse) du fibré telle que chaque est un produit scalaire sur . À l'aide de partitions de l'unité, montrer que toute variété admet une métrique riemannienne. À l'aide du théorème de plongement, donner une autre démonstration de ce résultat dans le cas des variétés compactes.

Soit la boule unité de et une fonction continue de dans . On suppose que est l'identité en restriction à . Montrer que est homotope à une application lisse ayant la même propriété.

Montrer que le fibré normal du bord d'une variété à bord est toujours trivial. En utilisant le théorème de Cauchy-Lipschitz, en déduire l'existence de voisinages collier du bord lorsque ce dernier est compact.

Soit la suspension du difféomorphisme de induit par . Soit la surface image de dans . Montrer que le fibré normal de dans n'est pas (isomorphe à) un fibré trivial. Montrer qu'il n'existe pas de fonction qui est une submersion au voisinage de et vérifie .