6.1 Applications multilinéaires

Soit un espace vectoriel de dimension finie sur un corps de caractéristique nulle (dans ce cours seul le corps des nombres réels sera utilisé). On note l'espace vectoriel des formes multilinéaires de dans . Il est parfois commode de poser, par convention, . On appelle aussi forme -linéaires les éléments de .

La première opération cruciale sur ces objets généralise la transposée d'une application linéaire.

On note que . Ainsi, si on note la catégorie des -espaces vectoriels de dimension finie, on a défini, pour tout entier positif , un foncteur de dans .

L'action à gauche du groupe de permutations sur , définie par , induit une action à droite sur définie par . On note que, pour toute application linéaire , . On dit qu'une forme multilinéaire est antisymétrique si, pour toute permutation , où est la signature de . On note que cette condition est vérifiée pour toute permutation si et seulement si elle est vérifiée pour toute transposition, car ces dernières engendrent le groupe des permutations. La multilinéarité implique alors que est antisymétrique si et seulement si elle est alternée, c'est-à-dire qu'elle s'annule sur tout -uplet contenant deux fois le même vecteur (ici il est crucial que la caractéristique de soit différente de deux). On appelle degré de l'entier .

Les formes multilinéaires antisymétriques constituent un sous-espace vectoriel de noté . L'image réciproque d'une forme antisymétrique par une application linéaire est antisymétrique. On dispose d'un projecteur de sur  :

qui commute aux images réciproques : pour toute application linéaire . On note que c'est le facteur dans cette formule (et autre analogue ci-dessous) qui impose de travailler sur un corps de caractéristique nulle.

La somme directe est munie d'une loi de composition interne notée qui est bilinéaire et envoie et sur définie par .

Le produit extérieur est associatif et « commutatif au sens gradué » (on dit aussi parfois « super-commutatif »)  : si on note le degré d'une forme multilinéaire , on a

En particulier si est de degré impair. Le produit extérieur est une opération fonctorielle : .

Soit une base d'un -espace vectoriel . On note la base duale, il s'agit d'une base de . Avec ces notations et le produit extérieur, on peut écrire le déterminant dans la base comme . Plus généralement, les facteurs combinatoires incorporés dans les définitions de et du produit extérieur visent à assurer l'associativité et la formule suivante :

De plus ces formes -linéaires forment une base de , qui est donc de dimension (ou en notation anglo-saxonne). En particulier, comme on peut le déduire plus directement, est nul pour .

La dernière opération algébrique sur les formes multilinéaires utile dans notre contexte est le produit intérieur d'une forme par un vecteur. Cette opération envoie un vecteur et une forme de degré sur la forme de degré définie par

On rencontre aussi fréquemment pour la notation dont l'inconvénient est l'encombrement vertical quand devient plus compliqué.