Dans le lemme du serpent, montrer l'exactitude en et en .

Démontrer le théorème de Mayer-Vietoris pour la cohomologie à support compact.

Calculer la cohomologie de de Rham d'un ruban de Möbius puis d'une bouteille de Klein en utilisant la suite de Mayer-Vietoris. Refaire le calcul en utilisant la suite exacte de paires à la place de celle de Mayer-Vietoris.

Soit un homéomorphisme entre ouverts de et respectivement. Le but de cet exercice est de montrer que . Soit un point de , une boule centrée en contenue dans , une boule centrée en contenue dans et une boule centrée en et contenue dans . Contempler le diagramme : puis conclure.

Montrer que le groupe des rotations de l'espace agit simplement transitivement sur l'ensemble de vecteurs tangents à de norme 1 (pour la norme euclidienne sur ). En déduire que est la réunion de tores pleins , en expliquant comment ces tores sont recollés. Calculer la cohomologie de de Rham de .

Soit une application d'une variété dans . On suppose que se décompose sous la forme :

Montrer que, même si est surjective, elle n'admet pas d'inverse à droite continue. Revenir au robot de l'introduction du cours en expliquant pourquoi, quel que soit le système mécanique qui change de façon continue la direction pointée par le robot en appliquant une suite de translations et de rotations dans l'espace au segment terminal, il est impossible de choisir continûment une commande en fonction de la direction souhaitée, même si le système de commande est plus complexe qu'un nombre fini de boutons à pousser ou tourner (cas ).

Démontrer le théorème de la boule chevelue (pour la sphère ).