7.1 Rudiments d'algèbre homologique
Les outils d'algèbre linéaire intervenant en cohomologie de de Rham sont communs à de nombreuses autres constructions, en topologie algébrique et dans bien d'autres domaines. C'est pourquoi on les extrait de leur contexte topologique pour en faire une branche de l'algèbre appelée algèbre homologique. Bien sûr on indiquera au fur et à mesure la motivation provenant des formes différentielles. Dans ce chapitre l'algèbre homologique n'apparaît que sous la forme bénigne de quelques définitions et d'un lemme évident. Cette qualification devra être nuancée dans le chapitre suivant (sans parler de tout ce qui se trouve au-delà des objectifs de ce cours).
Dans cette section, désigne un anneau commutatif unitaire fixé. Dans ce cours, on aura besoin uniquement du cas . On rappelle qu'un -module est l'analogue d'un espace vectoriel pour lequel les scalaires sont des éléments de . La terminologie espace vectoriel est réservée au cas où est un corps.
On a construit dans le chapitre précédent la dérivée extérieure pour tout qui vérifie . Cela inspire la définition suivante.
On note immédiatement que la condition est équivalente à , de sorte que la définition de la cohomologie a bien un sens.
On a démontré dans le chapitre précédent la naturalité de la dérivée extérieure : pour toute application entre variétés. Cela inspire la définition suivante.
Un morphisme de complexes entre deux complexes et est une famille d'applications linéaires vérifiant pour tout , i.e. le diagramme suivant est commutatif :
Cette condition implique immédiatement que passe au quotient en famille d'applications de dans .Dans la section suivante, le théorème fondamental de la cohomologie de de Rham assurera que deux applications homotopes induisent les mêmes applications en cohomologie. La démonstration de ce résultat nécessitera la définition algébrique suivante et son lemme ci-dessous.
Une homotopie entre morphismes de complexes et est une famille d'applications linéaires vérifiant . Les morphismes intervenant dans cette égalité apparaissent sur le diagramme suivant, qui n'est pas commutatif :
On dit que et sont homotopes s'il existe une homotopie entre eux.