2 Fibrés

Ce chapitre introduit l'étude des variétés fibrées. On peut voir une variété fibrée de deux points de vue complémentaires, soit comme variété munies d'une agréable partition en sous-variétés de dimension plus petite soit comme famille lisse de variétés paramétrée par une variété (la signification précise de cette description se trouve dans la définition 2.1). Le tore et la bouteille de Klein croisés dans les exercices du chapitre précédent sont deux exemples de familles de cercles paramétrées par un cercle. Au voisinage de chaque cercle de ces familles, les deux exemples sont indiscernables mais la famille bouteille de Klein est globalement plus complexe.

Un cas particulier à la fois simple et très important est celui d'un fibré vectoriel au-dessus d'une variété : une famille lisse d'espaces vectoriels paramétrée par . L'exemple le plus important est celui du fibré tangent à . Le but est d'associer à chaque de un espace vectoriel de sorte qu'une application lisse de dans ait en tout point une différentielle qui soit linéaire de dans . Lorsque est plongée comme sous-variété d'un espace affine, on peut identifier au sous-espace affine qui approche le mieux au voisinage de (Figure 2.1).