4 Transversalité

Dans ce chapitre, qui est le sommet de la première partie du cours, on part de deux situations assez intuitives et, en apparence, éloignées.

Tout d'abord on a vu dans le chapitre 1 que l'image inverse d'un point par une application lisse est une sous-variété (peut-être vide) lorsque est surjective en tout de . Le premier résultat majeur de chapitre, le théorème de Sard, affirme que cette hypothèse est vérifiée pour presque tout point à l'arrivée. On dit alors que est une valeur régulière de . On peut penser à l'exemple de de dans pour lequel l'image inverse est une hyperbole lisse sauf dans le cas .

La deuxième situation concerne une paire de sous-variétés et d'une même variété . L'intuition est que, sauf malchance, ces sous-variétés soit s'évitent entièrement si soit se coupent franchement le long d'une sous-variété de dimension . Cette intuition est fondée sur le cas des sous-espaces affines d'un espace affine. Par exemple une droite et un plan dans se coupent en un point, sauf accident, tandis que deux droites s'évitent entièrement et que deux plans se coupent le long d'une droite. Dans ces situations « hors accident », on dit que et sont transversales.

Les deux contextes peuvent être réunis dans la questions suivante : étant donné une application lisse et une sous-variété de , on cherche à savoir si est une sous-variété, sauf accident. La première situation est clairement de ce type. La deuxième situation correspond au cas où est l'inclusion de la sous-variété . Le deuxième grand théorème de ce chapitre, qui découle du premier, est le théorème de transversalité de Thom. Il entraîne en particulier que peut être perturbée pour garantir que est une sous-variété.

La fin du chapitre tire partie de ce théorème pour mettre sur pied la théorie de l'intersection qui permet de compter avec des signes le nombre d'intersections de deux sous-variétés de façon invariante par déformation. Des cas particuliers de cette théorie permettent de définir le degré d'une application entre variétés compactes orientées de même dimension et la caractéristique d'Euler. Le degré est un compte avec signes du nombre de préimages d'un point tandis que la caractéristique d'Euler compte les zéros d'un champ de vecteurs. Là encore on obtient des nombres invariants par déformation. Les exercices en présentent des applications concrètes, en particulier les théorèmes de Brouwer annoncés dans l'introduction.