3.3 Variétés à bord

Il est naturel d'étendre un peu la classe des variétés en autorisant la présence d'un bord. Ainsi on veut pouvoir considérer la boule unité fermée de comme une variété à bord, de bord la sphère unité.

Pour cela on ajoute comme modèle les ouverts de . On rappelle que, par définition de la topologie induite sur une partie, les ouverts de sont les intersections d'ouverts de avec . On définit le bord de comme et le bord d'un ouvert de comme .

Une application lisse entre ouverts et de est, par définition, la restriction à d'une application entre des voisinages ouverts dans de et respectivement. Un difféomorphisme entre ouverts et de est une bijection qui est la restriction à d'un difféomorphisme entre des voisinages ouverts de et dans .

Le lemme précédent reste vrai pour les homéomorphismes mais sa démonstration est plus difficile.

Un atlas de variété à bord sur un espace topologique est une famille où les forment un recouvrement ouvert de , les sont des ouverts de , les sont des homéomorphismes et les changements de cartes sont des difféomorphismes. Deux tels atlas sont équivalents si leur réunion est encore un atlas de variété à bord.

Le lemme précédent montre que le bord d'une variété à bord est bien défini.

On définit les applications lisses et difféomorphismes entre variétés à bord de la même façon que dans le cas sans bord. Il faut simplement prendre garde au fait que la définition d'application lisse entre ouverts de suppose l'existence d'une extension lisse à un ouvert de . De même le fibré tangent a une définition analogue à celui des variétés sans bord mais contient en plus les courbes vérifiant . Ainsi l'espace tangent à en un point de son bord est bien un espace vectoriel et pas une moitié d'espace vectoriel.

Le bord d'une variété à bord est une sous-variété (sans bord), pour une extension évidente de la définition de sous-variété. Si est orientable alors son bord l'est aussi. En effet le fibré normal est toujours trivial car on peut distinguer le côté rentrant dans du côté sortant. Par convention, si est orientée, on oriente de sorte qu'un vecteur sortant suivi d'une base directe de fournisse une base directe de . Bien sûr le bord de ne saurait avoir de voisinage tubulaire, on peut espérer au mieux un « demi-voisinage tubulaire ». Plus précisemment un voisinage collier de est un plongement de dans tel que pour tout . L'exercice 3.3 démontre l'existence de ces voisinages.

Une modification facile du cas sans bord permet de définir les sous-variétés à bord d'une variété à bord. On dit qu'une sous-variété est proprement plongée dans si l'inclusion de dans est propre au sens topologique (l'image réciproque de tout compact est compacte), si et en tout de . Cette dernière condition reviendra dans le chapitre suivant.