7.3 Cohomologie à support compact

La rétraction par déformation de considérée dans la section précédente est tout à fait légitime mais géométriquement assez violente. Dans l'homotopie , l'application est bijective pour tout et devient soudainement constante pour . Cet accident explique pourquoi la cohomologie de de Rham ne voit rien de la topologie de . Par exemple cela empêche d'espérer démontrer quoi que ce soit de fin concernant cette cohomologie par récurrence sur le nombre de cartes d'une variété. Pour cela il est commode de disposer d'une variante de la théorie qui ne change rien au cas des variétés compactes mais ne soit par invariante par des déformations aussi brutales.

On rappelle que désigne la sous-algèbre de constituée des formes différentielles à support compact, c'est-à-dire nulles en dehors d'un compact. Cette sous-algèbre est invariante par dérivée extérieure donc on récupère un nouveau complexe et sa cohomologie notée . Dans cette théorie, on ne considère que les formes fermées à support compact et on ne quotiente que par celle ayant une primitive elle aussi à support compact (ce dernier point est crucial).

Tirer en arrière une forme différentielle à support compact par application entre variétés ne donne pas nécessairement une forme différentielle à support compact (penser au cas d'une application constante entre variétés non compactes) mais c'est le cas si l'application est supposée propre (au sens topologique : l'image inverse de tout compact est compacte). De telles applications induisent donc des morphismes en cohomologie de de Rham à support compact. De même, le théorème 7.5 reste valable à condition de supposer que l'homotopie est propre. En effet, sous cette condition, l'opérateur construit dans la démonstration envoie bien les formes à support compact dans les formes à support compact. Par contre sans hypothèse de propreté le théorème devient faux. En particulier on montrera dans le chapitre 8 que la cohomologie de de Rham à support compact de est isomorphe à en degré et triviale pour les autres degrés.

La question de la propreté se pose en particulier pour les inclusions. En général l'inclusion d'une sous-variété dans une variété n'induit par de flèche de restriction . Par contre, si est un ouvert de alors on peut étendre par zéro les formes différentielles à support compact dans . Si on note l'inclusion de , on note l'inclusion induite de . Cette inclusion induit une application linéaire, encore notée , de dans (qui n'est pas nécessairement injective).