2.3 Opérations sur les fibrés vectoriels

Un fibré se tire en arrière par toute application  : le fibré induit est la sous-variété de définie par . On vérifie facilement qu'il s'agit bien d'une sous-variété et que la restriction de la projection en fait un fibré de même fibre que . En particulier, si est une sous-variété de et est l'inclusion de dans , est appelé restriction de à .

À toute opération usuelle sur les espaces vectoriels correspond une opération sur les fibrés vectoriels. Par exemple si et sont deux fibrés vectoriels sur une même base , la somme de et est la sous-variété de définie par . On vérifie facilement qu'il s'agit bien d'un fibré vectoriel de fibre au-dessus de tout point . Le dual de est la réunion disjointe des duaux . Il existe une unique structure de fibré vectoriel sur cette réunion disjointe telle que l'application d'évaluation soit lisse et que toute application de dans qui est linéaire en restriction à chaque fibre définisse une section lisse de . L'exemple le plus important de cette construction est le fibré cotangent, le dual du fibré tangent. Il est noté plutôt que pour plus de concision. Pour toute fonction , la composée de , de l'isomorphisme de l'exemple 2.7, et de la projection sur le second facteur fournit une section de notée et appelée différentielle de .

Le fibré des applications linéaires de vers est la réunion disjointe des munie de l'unique structure de fibré vectoriel au-dessus de telle que, pour tout morphisme de fibrés vectoriels , la collection des forme une section lisse de et les applications naturelles et soient lisses. L'existence et l'unicité des structures de fibré vectoriel sur et sont des exercices de manipulation de la remarque 1.6 pour l'unicité et de la méthode de recollement de la proposition 2.4 pour l'existence.

Un sous-fibré d'un fibré vectoriel est une sous-variété telle que, pour tout dans , soit un sous-espace vectoriel de . On peut vérifier que la restriction à de la projection est alors elle-même un fibré vectoriel. En pratique on peut considérer que cette dernière propriété fait partie de la définition.

À tout sous-fibré de est associé le fibré quotient défini ponctuellement par et muni de l'unique structure de fibré vectoriel telle que, pour tout morphisme de fibrés vérifiant pour tout , l'application induite de dans soit lisse. L'unicité est claire car l'identité de est induite par la projection de sur . L'existence se démontre par la méthode du recollement.

Soit une sous-variété d'une variété . En tout point de , l'inclusion de dans induit une inclusion de fibrés vectoriels . Plus précisément, où est l'inclusion de , mais cet abus de notation est sans grand danger. Le fibré quotient est appelé fibré normal de dans . Ce fibré est isomorphe à tout fibré supplémentaire de dans .