1 Variétés différentiables

L’objectif de ce chapitre est de définir les variétés, une classe d’espaces qui ressemblent localement à un espace affine et sur lesquels il est possible de faire du calcul différentiel. L’idée de base, introduite dans la section 1.1, est très simple, on considère des espaces topologiques munis d’une famille d’identifications locales avec soumises à une condition garantissant qu’une application qui est différentiable du point de vue d’une de ces identifications l’est du point de vue de toutes les autres. Ces objets généralisent les sous-variétés de , peut-être déjà croisées en MAT431 ou MAT452 ¹ qui fournissent donc les premiers exemples. La section 1.2 introduit les applications différentiables entre variétés et la relation fructeuse liant ces applications aux sous-variétés.

La mise en place des définitions (qui continuera dans le chapitre suivant) est un peu lourde mais, en pratique, il est rare d’utiliser directement ces définitions, de même qu’il est rare de penser à la définition de l’intégration ou même à la construction des nombres réels. Il est bien plus important d’avoir des outils permettant de manipuler ces objets ainsi qu’un stock d’exemples permettant de se forger une intuition. C’est pourquoi la section 1.3 est consacrée à deux outils permettant de construire des exemples qui ne sont pas de façon évidente des sous-variétés de variétés déjà connues.