1.1 Variétés et sous-variétés
Une variété topologique de dimension est un espace topologique séparé et -compact dont tout point admet un voisinage homéomorphe à un ouvert de .
Remarquons tout de suite que le cœur de cette définition est l’hypothèse d’homéomophisme local avec . Les hypothèses de séparation et de -compacité sont techniques, elles visent principalement à garantir l’existence de partitions de l’unité (théorème 3.1 du chapitre 3). Elles peuvent être ignorées puis remplacées, au moins psychologiquement, par la conclusion de ce théorème. En pratique, la -compacité est toujours gratuite, mais la séparation doit parfois être vérifiée soigneusement.
La définition de variété topologique n’est pas suffisante pour faire du calcul différentiel. Par exemple, étant donné une fonction d’une variété topologique dans , on peut avoir deux homéomophismes locaux et d’un ouvert de vers tels que est différentiable mais pas .
Un homéomorphisme d’un ouvert d’une variété topologique vers un ouvert de est appelé carte de . Un atlas de est une famille de cartes dont les domaines de définition recouvrent .
Soit un atlas d’une variété topologique. Les changements de cartes de sont les homéomorphismes , cf. Figure 1.1. Ce sont des homéomorphismes entre ouverts de .
Un atlas lisse est un atlas dont tous les changements de cartes sont des difféomorphismes de classe . Deux atlas lisses sont équivalents si leur réunion est encore un atlas lisse.
Il est important de noter qu’une variété topologique est un espace topologique vérifiant certaines propriétés tandis qu’une variété différentiable est un espace topologique muni d’une structure supplémentaire. On montre facilement qu’un espace topologique peut porter deux structures de variétés différentiables différentes. Même une fois mis en place la notion d’isomorphisme de variétés différentiables, on peut montrer, difficilement, qu’un même espace topologique peut porter plusieurs structures de variétés différentiables non isomorphes.
Ceci étant dit, il est quasiment systématique de sous-entendre la structure différentiable dans les notations. En particulier on appelle simplement carte de toute carte faisant partie d’un atlas lisse représentant la structure différentiable de . Dans toute la suite, le mot variété (sans précision) désigne une variété différentiable de classe .
Bien sûr les premiers exemples de variétés sont les ouverts de (sous-entendu : munis de la classe d’équivalence de l’atlas constitué de l’identité comme seule carte). La façon la plus concrète de produire de nouveaux exemples provient de la définition suivante.
La proposition suivante est évidente mais cruciale car elle fournit de nombreux exemples de variétés. On montrera même au chapitre 3 que, en un sens, elle les fournit tous.