GdT TESD Orsay, année 2014-15

Septembre 2014

"A Marstrand theorem for subsets of the integers"

Abstract: A classical result of Marstrand states: if K1,K2 are nonempty Borel subsets of R, then dim_H(K1+lambda.K2) ≥ min{1,dim_H(K1)+dim_H(K2)} for Lebesgue-almost every lambda in R (here dim_H is the Hausdorff dimension). In this talk, we suggest a counting dimension dim_Z for subsets of Z and prove that, under suitable conditions on two subsets E,F of Z, one has dim_Z(E+floor(lambda.F)) ≥ min{1,dim_Z(E)+dim_Z(F)} for Lebesgue-almost every lambda in R. The result has direct consequences when applied to arithmetic sets, such as the integer values of a polynomial with integer coefficients.
Joint work with Carlos Gustavo Moreira.

22 septembre: pas de séance

29 septembre: David Burguet (Jussieu)

"Expansivité entropique des applications C^infini"

Octobre 2014

13 octobre: Thierry Bousch (Orsay)

"Dimension des graphes de fonctions de Weierstrass, d'après Baranski et al."

Résumé: Les fonctions de Weierstrass sont des fonctions höldériennes périodiques, définies par des séries de Fourier lacunaires. On sait bien calculer la dimension de Minkowski (box dimension) de leur graphe: elle vaut 2-alpha, où alpha est l'exposant de Hölder. On conjecturait depuis longtemps que la dimension de Hausdorff lui était égale.
Récemment, Baranski, Barany et Romanowska ont démontré ce résultat pour alpha suffisamment petit, en se basant sur la théorie de Ledrappier-Young, ainsi que des résultats de Tsujii et Peres-Solomyak. J'expliquerai ce que je comprends de l'article, et s'il y a d'autres personnes intéressées, nous nous partagerons le travail de lecture.

20 et 27 octobre: férié

Novembre 2014

"Comment probabiliser le monoïde de trace?"

10 novembre: Dmitry Todorov (St-Petersbourg & ENS)

"Shadowing, structural stability, and systems of linear difference equations"

Abstract: It is well known that hyperbolic dynamical systems on closed smooth manifolds are stable in several senses. They are stable with respect to small pertubations of the whole system (structural stability) and with respect to small "per iteration" perturbations along trajectories (shadowing).
It is now folklore that structural stability is equivalent to hyperbolicity.
Recently it was shown by Pilyugin and Tikhomirov that certain quantitative version of shadowing is equivalent to hyperbolicity as well. The method is to relate shadowing and hyperbolicity using solvability of certain systems of linear difference equations along orbits.
I will explain the method and show how it works for some non classical shadowing and shadowing-like properties.
If time permits I will also say some words about equivalence of some ergodic stability properties and ergodic versions of shadowing.

17 novembre: Anne Broise (Orsay)

"Sur des résultats de Furstenberg et de Rudolph en caractéristique p (suite)"

Suite de l'exposé du 3 mars 2014

24 novembre: Xiaodong Wang (Orsay)

"Hyperbolicity of C^1 generic homoclinic classes and weak periodic orbits"

Abstract: Works of Liao, Mañé, Franks, Aoki and Hayashi characterized lack of hyperbolicity for diffeomorphisms by the existence of weak periodic orbits. They got the equivalences of the three following properties for a diffeomorphism: Omega-stability, hyperbolicity (Axiom A + no cycle) and the "star" condition. What I will talk about is a local version of these works: for a C^1 generic diffeomorphism of a compact manifold without boundary, a homoclinic class either is hyperbolic or contains a sequence of periodic orbits that have a Lyapunov exponent arbitrarily close to 0.

Décembre 2014

"Dans les graphes topologiques, l'existence d'un couple de Li-Yorke entraîne le chaos au sens de Li-Yorke"

Résumé: Soit T une transformation de X dans X. Si x,y sont deux points de X, (x,y) est un couple de Li-Yorke si la distance entre T^n(x) et T^n(y) a une liminf nulle et une limsup strictement positive quand n tend vers l'infini. Le système est chaotique au sens de Li-Yorke s'il existe un ensemble S non dénombrable tel que tout couple de points distincts de S est un couple de Li-Yorke. Il est connu que, pour les transformations de l'intervalle ou du cercle, l'existence d'un couple de Li-Yorke suffit à impliquer le chaos au sens de Li-Yorke. Nous montrons qu'on a le même résultat pour les transformations de graphes topologiques (un graphe topologique est un espace compact obtenu en recollant un nombre fini de segments et de cercles). Ce résultat repose sur l'étude des ensembles omega-limites pour les transformations de graphes topologiques d'entropie nulle.
(Travail en collaboration avec Lubomir Snoha.)

8 décembre: Richard Aoun (Orsay)

"Quelques propriétés génériques des groupes linéaires"

Résumé: Dans cet exposé, nous nous intéressons à comprendre "la taille" de quelques sous-ensembles des groupes linéaires d'adhérence de Zariski semi-simple en utilisant des techniques probabilistes, notamment la théorie des produits de matrices aléatoires. Plus précisément, soit G un sous-groupe de GL_n(R) d'adhérence semi-simple, m une mesure de probabilité sur G dont le support engendre G, et A un sous-ensemble de G. Nous dirons que A est générique dans G si m^n(A) tend vers 1 exponentiellement vite. Nous discutons quelques exemples connus de sous-ensembles génériques et expliquons leurs connections avec le domaine des graphes expanseurs.

15 décembre: Nikolaos Karaliolios (Jussieu)

"Dynamique de cocycles quasi-périodiques dans T x SU(2)"

Résumé: Les cocycles q-p dans TxSU(2) sont des difféomorphismes (de classe C-infini pour cet exposé) de type skew-product: une rotation irrationnelle dans la base T induit une dynamique dans les fibres, le groupe matriciel SU(2), à travers une application T → SU(2) de classe C-infini. Nous allons décrire les phénomènes que l'on rencontre dans cette classe de systèmes dynamiques (réductibilité à des modèles standard, presque réductibilité, densité des réductibles, unique ergodicité, unique ergodicité au sens des distributions...), lorsque la rotation satisfait une condition diophantienne.
(L'orateur (CNRS, IMJ-PRG) est partiellement financé par la bourse ERC "Quasiperiodic".)

22 et 29 décembre: férié

Janvier 2015

12 janvier: Corentin Boissy (Aix-Marseille & Toulouse)

"Induction de Rauzy-Veech pour les involutions linéaires"

Résumé: Le lien entre différentielles abéliennes et échanges d'intervalles fournit un outil puissant pour l'étude du flot de Teichmüller. Les involution linéaires sont une généralisation naturelle proposée en 1988 par Danthony et Nogueira, et correspondent au premier retour d'un feuilletage mesuré d'une surface sur un segment transverse.
Je parlerai d'un travail en collaboration avec E.Lanneau, publié en 2008, qui précise les différentes notions d'irréductibilité des involutions linéaires, en lien avec le flot de Teichmüller pour les différentielles quadratiques.

19 janvier: Anne Siegel (IRISA, Rennes)

"Développements en base non-entière, irrationalité et fractals"

Résumé: Les bêta-développements sont des prolongements naturels des développements de réels en base entière. Différentes questions ont été traitées sur ces écritures: comment caractériser les différentes écritures, en fonction de bêta? Quels sont les réels avec une écriture ultimement périodique, ou purement périodique?
Dans le cas particulier où bêta est un nombre de Pisot quadratique, Schmidt a mis en évidence une dichotomie forte: soit tous les rationnels dans [0,1] ont une écriture purement périodique, soit aucun rationnel n'est purement périodique. Dans cet exposé, nous expliquerons pourquoi cette dichotomie existe seulement partiellement dans le cas où bêta est un nombre cubique, en faisant appel à des approches de systèmes dynamiques et de géométrie de fractals.

26 janvier: Thierry de la Rue (Rouen)

"Un point de vue dynamique et probabiliste sur certaines fonctions arithmétiques"

Résumé: La fonction de Möbius et son carré, la fonction indicatrice des nombres entiers sans facteur carré, jouent un rôle important en théorie des nombres. Récemment, Peter Sarnak a envisagé leur étude d'un point de vue dynamique, en introduisant les systèmes dynamiques symboliques engendrés par ces deux fonctions.
Je montrerai à l'aide de quelques arguments probabilistes et de théorie ergodique comment les résultats annoncés par Sarnak sur les sans-carré peuvent être généralisés aux entiers "B-libres" (non divisibles par une famille B d'entiers). Notamment, la fréquence d'apparition des motifs de la fonction indicatrice des B-libres est donnée par une probabilité shift-invariante, et le système dynamique associé peut être complètement décrit.
La fonction de Möbius peut elle-même être généralisée à ce cadre "B-libre", ce qui apporte un éclairage probabiliste nouveau sur une conjecture de Chowla concernant la fonction de Möbius, et son caractère "apparemment aléatoire".
(Travail en collaboration avec E.H. El Abdalaoui et M.Lemanczyk).

Février 2015

"Composantes de Fatou errantes en dimension deux"

Résumé: L'ensemble de Fatou d'un endomorphisme holomorphe d'une variété complexe est le plus grand ensemble ouvert où ses itérées forment une famille normale; ses composantes connexes sont appelées composantes de Fatou. En dimension un, le Théorème du Domaine Non-Errant de Sullivan affirme que toute composante de Fatou d'une application rationnelle est prépériodique. Plusieurs contre-exemples ont été trouvés et étudiés pour des fonctions entières transcendantes, mais la question de l'existence de composantes de Fatou errantes pour des endomorphismes polynomiaux en dimension supérieure à deux restait ouverte.
Je vais montrer, avec des techniques d'implosion parabolique et en partant d'une idée de Lyubich, qu'il existe des endomorphismes polynomiaux de C^2 ayant une composante de Fatou errante. Ces applications sont des produits fibrés, qui peuvent s'étendre en des endomorphismes holomorphes de P^2 C.
(Travail en collaboration avec M.Astorg, X.Buff, R.Dujardin et H.Peters)

9 février: Damien Thomine (Orsay)

"Systèmes à variables rapides et lentes, d'après Dolgopyat et al."

Résumé: Le but de cet exposé est de présenter une méthode pour obtenir des théorèmes limites distributionnels pour des systèmes dynamiques partiellement hyperboliques présentant deux échelles de temps: une échelle rapide, où une dynamique hyperbolique prédomine et entraîne un mélange rapide, et une échelle lente, influencée par un terme principal et, à l'ordre supérieur, par les variations stochastiques de la dynamique rapide.
C'est le cas, par exemple, d'un billard chaotique dans lequel sont placées deux particules, une ponctuelle et de masse infinitésimale, et une particule volumineuse et massive. On peut alors montrer que, dans de bonnes conditions, la trajectoire de la particule massive décrit à grande échelle un mouvement brownien.
La méthode repose sur l'utilisation conjointe de paires standards, et d'une approche par les martingales.
D'après D.Dolgopyat, Varadhan, N.Chernov, J. de Simoi et C.Liverani.

16 février: Alexandra Skripchenko (Moscou)

"Interval translation mappings and billiards with spy mirrors"

Abstract: The notion of interval translation mappings (ITM) is a natural generalization of interval exchange transformations introduced by M.Boshernitzan and I.Kornfeld in 1994. ITM arise as the first return map in rational polygonal billiards with spy mirrors. We will discuss some dynamical properties of polygonal billiards with spy mirrors, such as topological entropy and complexity, and possible implementations of these results for ITM. Joint work with Serge Troubetzkoy (Marseille).

23 février: férié

Mars 2015

"Equivalence orbitale et rang topologique des groupes pleins"

Résumé: En équivalence orbitale, on étudie les actions de groupes dénombrables en retenant uniquement la partition de l'espace en orbites induite par l'action, autrement dit en retenant la relation d'équivalence "être dans la même orbite". Dans le cadre des actions ergodiques préservant une mesure de probabilité, il se trouve que cette relation d'équivalence est entièrement capturée par un groupe topologique, le groupe plein de la relation d'équivalence.
Les propriétés du groupe plein sont alors autant d'invariants d'équivalence orbitale. On s'intéressera ici au rang topologique du groupe plein, i.e. le nombre minimal d'éléments nécessaires pour engendrer un sous-groupe dense. On verra qu'il est très étroitement relié à un invariant fondamental d'équivalence orbitale: le coût.
Si le temps le permet, on évoquera également le cas des actions ergodiques quasi-préservant une mesure de probabilité.

9 mars: Liviana Palmisano (IMPAN, Varsovie)

"Conjugaison quasi-symétrique des fonctions du cercle avec un intervalle plat"

Résumé: On s'intéresse à la construction d'une conjugaison quasi-symétrique pour les applications du cercle C^2 préservant l'orientation avec un intervalle plat. On considère en particulier la sous-classe des fonctions avec un nombre de rotation de type borné et pour lesquelles la géométrie bornée se produit. Pour deux applications dans cette classe avec le même nombre de rotation, on construit un homéomorphisme quasi-symétrique du cercle qui est une conjugaison sur leurs ensembles non-errants.
L'homéomorphisme construit ne peut pas s'étendre facilement à une conjugaison sur tout le cercle, à cause de propriétés inattendues de distorsion de nos fonctions qui seront également expliquées.
Le cas général des fonctions avec un nombre de rotation de type non borné est également étudié. La situation devient plus compliquée à cause de la présence de phénomènes paraboliques. Tout d'abord on présentera quelques cas de figure et ensuite de possibles futurs développements.

16 mars: David Simmons (Ohio State University)

(attention, horaire inhabituel: 10h30-11h45)

"Diophantine approximation and the geometry of limit sets in Gromov hyperbolic metric spaces"

Abstract: Let (X,d) be a Gromov hyperbolic metric space, and dX its Gromov boundary. Fix a group G in Isom(X) and a point xi in dX. We consider the Diophantine approximation of a point eta in dX by points in the set G(xi). Our results generalize the work of many authors, in particular Patterson (1976) who proved most of our results in the case that G is a geometrically finite Fuchsian group of the first kind and xi is a parabolic fixed point of G. This work is joint with Lior Fishman and Mariusz Urbanski.

23 mars: Bassam Fayad (Jussieu)

"Mélange multiple et théorie spectrale pour les flots conservatifs sur les surfaces"

30 mars: Vanderlei Horita (Université de Sao Paulo)

"Generic symplectic diffeomorphisms and estimates for topological entropy"

Abstract: We will present a C^1-generic (Baire second class) subset R of symplectic diffeomorphisms on a 2d-dimensional manifold (d≥1) such that every f in R satisfies a trichotomy: or f is Anosov, or f is robustly transitive partially hyperbolic with unbreakable center of dimension 2m (1≤m<d), or f has totally elliptic periodic points dense on M. In the second case, we also show the existence of a sequence of m-elliptic periodic points converging to M. Moreover, we provide lower bounds for the topological entropy of non-Anosov diffeomorphisms in R by means of their largest central Lyapunov exponent.

Avril 2015

13 avril: séance annulée (l'orateur est malade)

20 et 27 avril: férié

Mai 2015

"Dynamical cubes, criteria for systems having product extensions and applications"

Abstract: For minimal Z^2-topological dynamical systems, we introduce a cube structure and a variation of the regionally proximal relation for Z^2 actions, which allow us to characterize product systems and their factors. We also introduce the concept of topological magic systems, which is the topological counterpart of measure theoretic magic systems introduced by Host in his study of multiple averages for commuting transformations. Roughly speaking, magic systems have a less intricate dynamic and we show that every minimal Z^2 dynamical system has a magic extension. We give various applications of these structures, including the construction of some special factors in topological dynamics of Z^2 actions, the computation of the automorphism group of the minimal Robinson tiling, and the pointwise convergence of a cubic average.

11 mai: Wolfgang Steiner (LIAFA, Paris 7)

"Dissections d'ensembles en morceaux semblables"

Résumé: Nous étudions la possibilité de disséquer un triangle équilatéral en trois morceaux semblables avec un rapport de surfaces 1:1:a (et d'autres questions similaires). Pour a ≥ (3+sqrt(5))/2, des solutions sont données par des attracteurs de systèmes de fonctions itérés avec condensation.
(Travail en collaboration avec Shigeki Akiyama, Jun Luo, Ryotaro Okazaki et Jörg Thuswaldner.)

18 mai: Damien Thomine (Orsay)

"Convergence de processus empiriques vers des processus stochastiques"

Résumé: Cet exposé sera la suite du précédent (mais devrait être compréhensible indépendamment).
Je suivrai un article de C.Liverani et J. De Simoi (The martingale approach after Varadhan and Dolgopyat), qui décrivent dans un contexte simplifié les méthodes notamment employées par N.Chernov et D.Dolgopyat pour montrer la convergence vers un mouvement brownien de certains processus empiriques.
Plus précisément, on montre que les trajectoires d'un système stationnaire subissant une petite perturbation par un système chaotique à l'évolution beaucoup plus rapide, une fois correctement renormalisées, convergent (quand la perturbation devient négligeable) vers la solution d'une équation différentielle stochastique.

25 mai: férié

Juin 2015

8 juin: Nathalie Aubrun (LIP, ENS Lyon)

"Problèmes de pavage sur les groupes de Baumslag-Solitar"

Résumé: En 1966, Berger montre que le problème de la pavabilité du plan par un jeu de tuiles fini (problème du domino) est indécidable. Lorsque les pavages sont définis non plus dans le plan discret Z^2 mais sur un groupe finiment engendré, et si ce groupe est virtuellement libre (c'est-à-dire qu'il possède un sous-groupe libre d'indice fini), alors le même problème est décidable. L'implication réciproque est toujours un problème ouvert.
Dans cet exposé on s'intéressera aux groupes de Baumslag-Solitar: on montrera d'une part l'existence d'un jeu de tuiles faiblement apériodique, et d'autre part l'indécidabilité du problème du domino.

15 juin: Joseph Rosenblatt (Univ. Indiana)

"Coboundaries in Dynamical Systems"

Abstract: A coboundary is a difference H - H \circ tau. The function H is the transfer function. It is well-known that for ergodic transformations tau, a mean-zero function in L_r(X), 1 ≤ r < \infty, can be approximated by coboundaries with transfer functions in L_r(X), and that the subspace of coboundaries is first category. As a dual to this, one can ask how often we can write a given mean-zero F in L_r(X) as a coboundary, with a transfer function in L_r(X) too, if vary tau. The answer is the class of maps tau for which one can do this is first category. Nonetheless, there is good evidence that every F in L_r(X) is a coboundary with transfer function H in L_r(X) for some tau. These types of questions, and related ones connected with coboundaries where f, H, and tau all vary are the subject of this talk.

22 juin: Sara Brofferio (Orsay)

"Frontière de Poisson: des groupes discrets aux groupes continus"

Résumé: Soit \mu une mesure de probabilité sur un groupe G. Un problème classique en théorie des probabilités est de caractériser les fonctions harmoniques sur G, ie invariantes par convolution avec \mu.
Pour les groupes de matrices, la question est assez bien comprise quand \mu est lisse sur G, en particulier pour les groupes dénombrables. On sait, dans beaucoup de cas, donner une représentation intégrale des fonctions harmoniques bornées, c'est-à-dire décrire la frontière de Poisson.
Il reste cependant beaucoup de questions ouvertes quand \mu est de support fini. Dans ce cas, \mu et les fonctions harmoniques associées vivent à la fois sur G et \Gamma, le sous-groupe dénombrable de G engendré par le support de \mu.
On aimerait savoir comment les fonctions harmoniques sur le sous-groupe discret \Gamma sont liées aux fonctions harmoniques sur le groupe continu G.  En particulier, peut-on construire la frontière de Poisson de G lorsqu'on connaît (comme c'est souvent le cas) celle de \Gamma ? 
Dans cet exposé, je montrerai que la G-frontière coïncide avec l'espace des composantes ergodiques pour l'action de \Gamma sur le produit de G et de la \Gamma-frontière. En particulier, cette action est ergodique si et seulement si il n'existe pas de G-fonctions harmoniques bornées [non constantes].
Cela permet de construire la frontière de Poisson pour le groupe de Baumslag-Solitar.
Je présenterai aussi une série de questions ouvertes.

29 juin: François Gautero (Nice)

"Pavages euclidiens, mesures invariantes et norme de Thurston asymptotique"

Résumé: La question de déterminer si un ensemble fini de briques permet de paver le plan euclidien est une question classique, connue pour être indécidable. Dans un travail en commun avec J-R. Chazottes et J-M. Gambaudo, on donne une interprétation géométrique de cette question. L'espace de tous les pavages possibles construits à partir de ces briques est, s'il est non vide, un espace topologique laminé porté par une "surface branchée" (complexe cellulaire de dimension 2 muni d'une structure lisse). L'existence de mesures transverses invariantes (par l'action des translations) à la lamination est équivalente à l'existence de classes d'homologie positives sur la surface branchée, sur lesquelles s'annule une certaine pseudo-norme: cette pseudo-norme est dérivée de la norme de Thurston sur l'homologie de degré deux des variétés de dimension trois compactes. Après avoir rappelé toutes les notions nécessaires, on tentera d'expliquer comment elles s'articulent entre elles, ainsi que leur lien avec le problème initial.