| 14h - 15h | Allessandro
Giuliani (Univ. Roma Tre & Centro Linceo Interdisciplinare B. Segre) |
The scaling
limit of non-integrable Ising models Abstract: We consider finite range perturbations of the 2D Ising model in cylindrical geometry. We show that at Tc the rescaled multipoint energy correlations converge to a well defined limit as the lattice mesh tends to zero. This scaling limit is the same as the one for nearest neighbor Ising, up to a finite multiplicative renormalization constant, independent of the shape of the domain. The proof is based on a representation of the generating function of correlations in terms of a non-Gaussian Grassmann integral, and a constructive Renormalization Group analysis thereof. Two novelties, compared with previous works, are : (1) proof that the scaling dimension of boundary operators is better by one dimension than their bulk counterparts ; (2) control of the marginal boundary terms, thanks to a cancellation mechanism based on an approximate image rule for the fermionic Green's function. Based on joint works with G. Antinucci, R. Greenblatt and V. Mastropietro. |
| 15h15 - 16h15 | David
Gontier (Univ. Paris Dauphine) |
Cristallisation
dans l'inégalité de Lieb-Thirring Résumé: L'inégalité de Lieb-Thirring permet de borner la somme des valeurs propres négatives d'un opérateur de Schröodinger par une quantité ne dépendant que du potentiel. Dans l'article originel, il était conjecturé que les systèmes optimisant cette inégalité étaient, suivant la valeur d'un paramètre et la dimension, soit un système ayant une seule valeur propre (une seule particule), ou bien un systèe infini dans le régime semi-classique (phase fluide). Dans cet exposé nous montrerons qu'il existe un régime où les systèmes optimaux sont infinis et non semi-classiques (phase solide). Ce travail a été fait en collaboration avec Rupert Frank et Mathieu Lewin. |
| 14h - 15h | Anne-Sophie de Suzzoni (E.Polytechnique) |
Un modèle pour l'atome d'Hélium avec corrections relativistes Résumé: Dans cet exposé, on commencera par rapidement récapituler les notions fondamentales à la définition et la description de l'opérateur de Dirac puis on présentera un modèle pour l'atome d'Hélium, pour lequel on considérera que la dynamique des électrons relève de la mécanique quantique avec corrections relativistes et que la dynamique du noyau est classique. On étudiera donc un système d'équations couplées, dont une correspondra à une équation de type Hartree mais dont la dynamique linéaire est portée par l'opérateur de Dirac-Coulomb, et l'autre relèvera de la mécanique Hamiltonienne. On présentera alors un résultat d'existence local pour ce système dans un espace fonctionnel aproprié, qu'on commentera et dont on donnera certains éléments de preuve. Collaboration avec F.Cacciafesta (Padoue) et D. Noja (Milan) |
| 15h15 - 16h15 | Alexis Drouot (Univ. of Washington) |
Dynamics in topological insulators Abstract: Topological insulators are materials that block conduction along their interior but support extraordinarily robust currents along their boundary. I will first review the bulk-edge correspondence, an index-like theorem that explains the stability of currents. I will then present a research project that aims to quantitatively describe these currents in the semiclassical regime. |
| 14h - 15h | Jérémy Sok
(Univ. Strasbourg) |
Opérateurs
de Dirac à champs magnétiques singuliers supportés par des noeuds tricots Résumé: Un noeud tricot est un certain type de courbe dans l’espace dessinée au voisinage d’une courbe base. Un exemple typique est le noeud de trèfle dessiné sur le bord d’un tore (vu comme voisinage tubulaire d’un cercle). On s’intéresse à des champs magnétiques dont l’unique ligne de champ est supportée par de telles courbes et aux opérateurs de Dirac associés. Ces champs s’apparentent à des solénoïdes d’Aharonov-Bohm, et présentent la même périodicité des flux des lignes de champ. En faisant tendre vers zéro l’épaisseur du voisinage tubulaire, le noeud tricot converge formellement vers la courbe base. On présentera dans cet exposé des résultats de convergence que l’on peut obtenir au niveau des opérateurs de Dirac et de leurs spectres. Travail effectué en collaboration avec Jan Philip Solovej. |
| 15h15 - 16h15 | Tobias
König (IMJ-PRG) |
Energy
asymptotics in the three-dimensional Brezis–Nirenberg problem Abstract: In this talk, we consider the Brezis–Nirenberg minimization problem Under certain quasi-optimal assumptions on Since our approach is purely variational, it also applies to almost minimizers of We will also discuss analogous results for higher dimensions This is joint work with Rupert Frank and Hynek Kovarik |
| 14h - 15h | Víctor Arnaiz (Orsay) |
Construction of quasimodes for non-selfadjoint operators under finite-type dynamical conditions Abstract: I will present new results on the study of pseudospectra of non-selfadjoint operators. As it is well known, the precise knowledge of the distribution of the spectrum of a non-normal Schrödinger operator is not always enough to obtain proper estimates on the resolvent (contrary to the self-adjoint case), which is essential, for instance, to obtain optimal decay rates for the energy of solutions to the associated evolution problem. A more suitable object of study in this framework is the pseudo-spectrum, given by the set of points of the complex plane where the resolvent is asymptotically very large, which are not necessarily close to true spectral values. Using recent developments on propagation of Hagedorn wave-packets by non-Hermitian quadratic operators, we give new constructions of quasimodes reaching points of the complex plane at the boundary of the pseudospectrum under finite-type dynamical conditions. This results in obtaining sharp estimates on the resolvent, and showing new examples of operators for which the spectrum is asymptotically deep inside the pseudospectrum. Particularly, we observe this phenomenon in non-selfadjoint subprincipal perturbations of systems of semiclassical harmonic oscillators. Slides of the talk |
| 15h15 - 16h15 | Stefan Teufel (Tübingen) |
Adiabatic theorems and linear response in the thermodynamic limit Abstract: I will present a new adiabatic theorem for systems of interacting fermions on a lattice that holds in the thermodynamic limit and discuss its implications for a rigorous justification of linear response theory and Kubo’s formula at zero temperature. In particular, the theoretical understanding of the quantum Hall effect rests on the validity of Kubo’s formula for such systems. This is based on joint works with Joscha Henheik (arXiv:2002.08669, arXiv:2012.15238, arXiv:2012.15239) Slides of the talk |
| 14h - 15h | Mihajlo Cekić (Orsay) |
Eigenfunction
concentration on polyhedra Abstract: In this talk I will describe some properties of the high-energy probability distribution of a quantum particle in an n-dimensional polyhedron. More precisely, I will show that in the high-energy limit, with non-zero probability such a particle is found in a neighbourhood of the (n-1)-skeleton of the polyhedral boundary. This is a first result of this kind for n > 2, previously known results being in the polygonal n = 2 case. On the dynamical side, the proof is based on studying the closed orbits of the billiard flow, which come in “periodic tubes”, while on the analytical side, we take microlocal limits in phase space of Laplace eigenfunctions (semiclassical measures), and prove control theoretic estimates for eigenfunctions in these periodic tubes. Joint work with B. Georgiev and M. Mukherjee. Slides of the talk. |
| 15h15 - 16h15 | Luc
Hillairet (Orléans) |
Ecarts
entre les valeurs propres pour un potentiel singulier Résumé: On étudie comment une singularité de type puissance dans le potentiel affecte le spectre d'une équation de Schrödinger semiclassique 1D sur une demi-droite. On s'intéresse notamment à une description de l'écart entre les valeurs propres uniformisant les différents régimes (énergies non-critiques, fond de puits). Travail en commun avec Jeremy Marzuola (U. North Carolina). Slides of the talk. |
| 14h - 15h | Charles Collot (CNRS & Cergy) |
On the stability of equilibria for infinitely many quantum particles Abstract: We study the evolution of a system of infinitely many quantum particles. Instead of the usual Hartree equation for density matrices, we consider the following equivalent model, proposed by de Suzzoni, of a Hartree type equation but for a random field: iXt=-ΔX + (w*E(|X|2))X. Here X is a random field on [0,T]xRd, and w is the pair interaction potential. This equation admits equilibria which are random Gaussian fields whose laws are invariant by time and space translations. They are hence not localised and represent an infinite number of particles. We give a stability result under certain hypotheses, by showing that small perturbations scatter to linear waves as the time goes to plus or minus infinity. This gives another point of view for this problem that was previously studied on the side of density matrices by Lewin-Sabin (then Chen-Hong-Pavlovic and recently Pusateri-Sigal). This is joint work with de Suzzoni. |
| 15h15 - 16h15 | Maher Zerzeri (Paris-Nord) |
Distribution des résonances dans le cas d’un lac dans une île Résumé: Nous présenterons un résultat sur la distribution des résonances pour l’opérateur de Schrödinger semi-classique multidimensionnel, associé à un puits de potentiel dans l’île, aux énergies proche de celle qui délimite la séparation du puits et de la mer environnante. Nous insisterons sur la (ou les) différence(e)s avec les travaux antérieurs, en mettant en évidence le caractère stable/instable des résonances (avec deux ou trois exemples). Finalement, nous donnerons quelques idées de la preuve. La présentation sera basée principalement sur un travail en collaboration avec J. Sjöstrand. |
| 14h - 15h | Maxime
Ingremeau (Nice) |
How
Lagrangian states evolve into random waves Abstract: In 1977, Berry conjectured that eigenfunctions of the Laplacian on manifolds of negative curvature behave, in the high-energy (or semiclassical) limit, as a random superposition of plane waves. This conjecture, central in quantum chaos, is still completely open. In this talk, we will consider a much simpler situation. On a manifold of negative curvature, we will consider a Lagrangian state associated to a generic phase. We show that, when evolved during a long time by the Schrödinger equation, these functions do behave, in the semiclassical limit, as a random superposition of plane waves. This is joint work with Alejandro Rivera. |
| 15h15 - 16h15 | Antsa Ratsimanetrimanana (BCAM, Bilbao) |
De l'absence d'effets quantiques sur le courant électrique à l'échelle microscopique Résumé: Le besoin croissant de composants électroniques plus petits a récemment suscité l'intérêt pour l’étude de la théorie de la conductivité classique à l'échelle atomique, où les effets quantiques devraient dominer. En 2012, les mesures expérimentales de la résistance électrique de fils en silicium dopés aux atomes de phosphore ont démontré que les effets quantiques sur le transport de charge disparaissent presque pour des fils de longueur supérieure à quelques nanomètres. Et ceci même à très basse température (4,2 K). Nous démontrons mathématiquement que, dans le cas de fermions non soumis à une interaction (fermions libres) évoluant sur un réseau cristallin (avec désordre), l'incertitude quantique de la densité de courant électrique microscopique autour des valeurs macroscopiques (classiques) décroit exponentiellement par rapport au volume de la région du réseau où le champ électrique est appliqué. Ceci est en accord avec l'observation expérimentale ci-dessus. Le désordre au sein du réseau est modélisé par un potentiel externe aléatoire avec des amplitudes aléatoires et à valeurs complexes. Le célèbre "Anderson tight-binding model" est un exemple particulier du cas considéré ici. Notre analyse mathématique est basée sur les estimations de Combes-Thomas (1973), le théorème ergodique d'Akcoglu-Krengel et le formalisme des grandes déviations, en particulier le théorème de Gärtner-Ellis. |
| 14h - 15h | Sonia Fliss (ENSTA) |
Problèmes de diffraction dans des guides d’ondes : conditions de radiation et conditions transparentes Résumé: On s'intéresse dans cette présentation à des phénomènes de propagation d'ondes en régime harmonique dans des guides d'ondes infinis, c'est-à-dire des domaines qui sont infinis dans une direction et bornés dans les autres. L'étude des EDPs sous-jacentes présente des difficultés théoriques et numériques. D'un point de vue théorique, il faut en général déterminer une condition de radiation qui caractérise le comportement des ondes à l'infini et qui est essentielle pour assurer le caractère bien posé du problème. Notons que la difficulté spécifique des guides d'ondes est la dispersion, les ondes ne se propageant pas toutes à la même vitesse. D'un point de vue numérique, pour calculer la solution, il faut restreindre les calculs autour d'une région d'intérêt en construisant des conditions transparentes, qui restituent en un certain sens le comportement des ondes à l'extérieur de cette région. Pour l'équation des ondes acoustiques dans un guide d'ondes homogène (potentiellement localement perturbé) modélisée par l'équation de Helmholtz avec conditions de Dirichlet ou Neumann, la réponse à ces questions est connue depuis longtemps. Il suffit d'utiliser le caractère auto-adjoint du laplacien transverse, ce qui mène à une décomposition modale de la solution. Ce cas est en fait extrêmement particulier: pour l'équation des ondes élastiques de Kirchhoff-Love, de Maxwell, dans des guides d'ondes homogènes, stratifiés, périodiques, la même démarche ne fonctionne plus. En effet, même si l'opérateur intervenant dans la modélisation est auto-adjoint, l'opérateur transverse associé ne l'est pas en général. Notons que pour les guides d'ondes périodiques, il n'est même pas pertinent. Ainsi, la complétude des modes transverses est en général une question ouverte, et justifier une décomposition modale n'est plus du tout direct. Une alternative consiste à utiliser une approche qui nous semble plus générale, qui a été introduite par Kondratiev et très exploitée par Nazarov et Plamenevskii. Cette approche est basée sur une transformation adaptée, de Fourier ou de Floquet, le long de la direction du guide. Une représentation modale de la solution est alors obtenue en combinant des arguments d'analyse complexe avec la théorie de Fredholm dans des espaces de Sobolev à poids. De plus cette représentation peut être utilisée à des fins numériques pour construire un nouveau type de conditions transparentes. Cette présentation est basée sur des travaux multiples réalisés avec Anne-Sophie Bonnet-Ben Dhia (POEMS, CNRS), Laurent Bourgeois (POEMS, ENSTA), Lucas Chesnel (INRIA, CMAP) et Antoine Tonnoir (INSA Rouen). |
| 15h15 - 16h15 | Bruno Premoselli (Univ. Libre de Bruxelles) |
Towers of bubbles for critical stationary Schrödinger equations in large dimensions Abstract: In this talk we consider perturbations of critical stationary Schrödinger equations, such as Yamabe-type equations on manifolds, or Brézis-Nirenberg-type equations on bounded open sets. We are interested in the blow-up behavior of such equations; in particular in how blowing-up solutions may develop « multi-bubble blow-up », that is how several interacting concentrating peaks may appear. In dimensions larger than 7, on a locally conformally flat manifold, we construct positive blowing-up solutions of such equations that behave like towers of bubbles concentrating at a critical point of the mass function. The result does not assume any symmetry on the underlying manifold. The construction is performed by combining finite-dimensional reduction methods with a linear bubble-tree analysis. Our approach works both in the positive and sign-changing case: as a byproduct of our analysis we prove the existence, on a generic bounded open set of Rn, of blowing-up solutions of the Brézis-Nirenberg equation that behave like towers of bubbles of alternating signs. |