| 11h15 - 12h15 | Sylvia Serfaty (Jussieu & Courant Inst.) | Ginzburg-Landau,
énergie renormalisée, et gaz de Coulomb Résumé: Dans un travail avec Etienne Sandier, nous avons introduit une énergie renormalisée "coulombienne" d'interaction entre points dans le plan, dérivée comme limite de la fonctionnelle de Ginzburg-Landau de la supraconductivité. Je décrirai ces resultats et cette énergie, ainsi que le lien avec les "réseaux d'Abrikosov". Je mentionnerai également l'application aux gaz de Coulomb et matrices aléatoires. |
| Déjeuner | ||
| 14h - 15h | Vesselin Petkov (Bordeaux) | Estimations
semiclassiques de la résolvante tronquée pour des
perturbations captives Résumé: On considère les résolvantes tronquées Rψ(z,h)=ψ(-h2Δ + V(x) - z)-1ψ et Rχ(z) pour des énergies Re z ~ E et h>0 petit. Les cutoffs ψ, χ sont lisses et à supports compacts, et tels que ψ(x)=1 près de la projection de l'ensemble captif associé au flot de l'hamiltonien ξ2+V(x) à énergie E, tandis que χ est supporté loin de cette projection. On sait que pour z réel, la résolvante Rψ(z) pourrait croître exponentiellement comme eC/h, tandis que Rχ admet une estimée O(h-1), typique du cas non-captif. On examine le lien entre les estimations semiclassiques de ces deux résolvantes lorsque z n'est pas réel, mais Im z = -Ch ou Im z = -ChN, et on prouve que le phénomène décrit plus haut pour z réel n'a pas lieu. En particulier, une estimation pour Rχ(z) en Im z = -Ch implique la même estimation pour Rψ(z). Collaboration avec J-F Bony. |
| 15h15 - 16h15 | Yvan Castin (ENS Paris) | Le gaz unitaire
existe-t-il? Résumé: Depuis quelques années, on sait ajuster la force des interactions dans les gaz d'atomes froids, par simple application d'un champ magnétique (technique dite de la résonance de Feshbach). On peut ainsi préparer un gaz d'atomes fermioniques de spin 1/2 en interaction "maximale", c'est-à-dire avec une longueur de diffusion entre les deux états de spin beaucoup plus grande que la distance moyenne entre particules. Ce gaz, dit "unitaire", est stable, comme il a été montré en particulier par l'équipe de Ch. Salomon à l'ENS. Formellement, le gaz unitaire correspond à la limite où la longueur de diffusion est infinie et la portée des interactions nulle. Il est alors décrit par l'équation de Schrödinger à N corps libre (sans terme d'interaction), l'effet des interactions étant pris en compte par des conditions aux limites sur la fonction d'onde lorsque la distance entre deux particules tend vers 0 (modèle de Bethe-Peierls ou de Ter-Martirosyan-Skornyakov). Un point clé est que ces conditions aux limites sont invariantes par changement d'échelle, ce qui donne des propriétés physiques intéressantes. L'existence du gaz unitaire revient à affirmer que ce modèle définit un Hamiltonien auto-adjoint. Dans les annees 1990, bien avant la réalisation expérimentale, des travaux mathématiques de Dell'Antonio, Figari, Teta, puis de Minlos, s'attaquent à cette question et affirment que le gaz unitaire n'existe pas au-delà d'un nombre critique de particules. Le travail de Minlos reste cependant en grande partie une conjecture, car il n'y a pas de démonstration complète publiée. De plus, pour la situation expérimentale, le nombre critique prévu par Minlos vaut seulement 10, alors que les expériences comportent des dizaines de milliers de particules. Nous avons testé la conjecture de Minlos à la physicienne. Quelle peut être l'origine d'une non-existence du gaz unitaire? Ce devrait être l'effet Efimov, c'est-à-dire l'apparition d'un nombre infini d'états liés entre les particules, avec un spectre non borné inférieurement formant une suite géométrique. Cet effet est bien connu dans le cas de trois corps (et a été vu récemment avec des atomes froids), pour trois bosons mais aussi pour deux fermions de même état de spin en interaction avec un atome discernable, pourvu que ce dernier soit au moins 13,6069... fois plus léger qu'un fermion. Ceci résulte de la théorie d'Efimov des années 70, et est en accord avec la conjecture de Minlos dans le cas N=3. Qu'en est-il pour N=4? L'effet Efimov existe-t-il à 4 corps ? La question était posée depuis longtemps. Nous y avons répondu par l'affirmative en résolvant (avec une étape numérique) le problème à 3 fermions de même état de spin en interaction avec un atome discernable. Comme nous l'exposerons, l'effet Efimov à 4 corps ne se produit cependant pas du tout pour le rapport de masse conjecturé par Minlos, ce qui jette un doute sur cette conjecture, et la démonstration de Teta et al. présente un trou. Ceci motive donc la recherche d'une démonstration mathématique complète de l'existence du gaz unitaire, et permet aux physiciens de continuer à croire en son existence... Collaboration avec Christophe Mora et Ludovic Pricoupenko. |
| 11h15 - 12h15 | Rémi Carles (Montpellier) | Interaction of
coherent states for Hartree equations Résumé: We consider the Hartree equation with a smooth kernel and an external potential, in the semiclassical regime. We analyze the propagation of two initial wave packets, and show different possible effects of the interaction, according to the size of the nonlinearity in terms of the semiclassical parameter. We describe three cases, and focus our attention on the "most nonlinear" one. In each case, the structure of the wave as a sum of two coherent states is preserved. However, the envelope and the center (in phase space) of these two wave packets are affected by nonlinear interferences, which are described precisely. |
| Déjeuner | ||
| 14h - 15h | Frédéric Naud (Avignon) | Le trou spectral
essentiel des surfaces hyperboliques de volume infini Résumé: On présentera dans cet exposé une conjecture sur la taille du trou spectral pour les r\'esonances du Laplacien sur une surface hyperbolique non compacte et d'aire infinie. On donnera quelques r\'esultats partiels allant dans le sens de cette conjecture, obtenus en commun avec D. Jakobson. |
| 15h15 - 16h15 | Stefan Teufel (Tübingen) | Spontaneous
Decay of Resonant Energy Levels for Molecules with Moving Nuclei Résumé: The goal of this work is to understand spontaneous emission of photons by dynamical molecules, e.g. during a chemical reaction, in the limit of small coupling to the field and heavy nuclei. There are two well understood limiting regimes: without coupling to the field the limit of heavy nuclei yields the Born-Oppenheimer approximation. For infinitely heavy nuclei the resonant states of the system have been studied in great detail during the recent years. We study the combined limit where the lifetime of the resonances is large on the time-scale of nuclear dynamics. In the Pauli-Fierz model we prove the validity of the Born-Oppenheimer approximation at leading order and compute the rate of spontaneous emission of photons. \\ This is joint work with Jakob Wachsmuth (arXiv:1109.0447v1). |
| 11h15 - 12h15 | Jacob Schach Møller (Aarhus) | Polaron-phonon
scattering Résumé: In this talk I will discuss recent progress in understanding the structure of the continuous energy-momentum spectrum and scattering states for Fröhlich's polaron model. In particular I will formulate the notion of asymptotic completeness and clarify the role played by asymptotic fields. A key conceptual ingredient is the abandonment of the bare electron as a constituent part of the system, in place of the effective polaron which may appear in different states depending on the structure of mass shells. The configuration of mass shells induces a threshold structure analogous to the case of analytically fibered operators studied by Gérard and Nier. If time permits, I will explain how to construct useful propagation observables in the one-phonon sector by exploiting the structure of mass shells. The talk is based on joint work with Wojciech Dybalski and Morten Grud Rasmussen. |
| Déjeuner | ||
| 14h - 15h | Roman Schubert (Bristol) | Quantum normal
forms and transition state theory: Microlocal analysis of chemical
reactions Résumé: We consider the situation where after the Born-Oppenheimer approximation the dynamics of a molecule with N atoms is described by a semiclassical Schrödinger operator with a small parameter given by the ratio of the electron mass to the mass of the nuclei, and with a potential energy |
| 15h15 - 16h15 | Mickaël Dos Santos (Créteil) | Small
impurities in a superconductor Résumé: We will present a study of a Ginzburg-Landau type energy where the potential part has a pinning term. This energy is a simplification of the Ginzburg-Landau energy which describes the state of a superconductor in presence of a magnetic field. The pinning term models impurities in the superconductor (a superconductor heterogeneous in temperature or in material); it models a doped superconductor. Using a mathematical artefact, we mimic the application of a magnetic field sufficiently strong in order to destroy the superconductivity in small areas. These areas are called vorticity defects. We will be interested in the situation where the pinning term models small impurities. The study will be dedicate to the pinning effect of the vorticity defects. In particular we will underline two consequences of the smallness of the impurities. |
| 11h15 - 12h15 | Georgi Raikov (Santiago de Chile) | Resonances and
spectral shift function singularities for a magnetic
Schrödinger operator Résumé: Let |
| Déjeuner | ||
| 14h - 15h | Giuseppe De Nittis (Cergy) | Wannier
Transform for Quasicrystals Résumé: In this talk I will present some preliminary results on a work in progress concerning the natural extension of the Bloch theory to the challenging study of quasicrystals. The aim of the work is to define a Bloch-like decomposition for the quasicrystal-Hamiltonians, namely for a (one-particle) Schrödinger operator with an interaction which is the sum of short range atomic potentials with atoms located on an aperiodic repetitive Delone set with finite local complexity. The Anderson-Putnam complex related to the Voronoi tiling of the aperiodic set as well its associated Lagarias group will play a crucial role for the generalisation of the Wannier transform and for the definition of a suitable space of Bloch-type functions. The quasicrystal-Hamiltonian will be shown to have a Bloch-like representation as a family of operators defined by means of parameter-dependent boundary conditions. The operator domains will be characterized in terms of a cohomological description. Comments will be made about the potential applications of such method for the analysis of the energy spectrum of quasicrystals. |
| 15h15 - 16h15 | Hajer Bahouri (Créteil) | Lack of
compactness in the 2D critical Sobolev embedding Résumé: The study of lack of compactness in Sobolev embedding is very useful for instance in the Calculus of Variations, but also in the study of various types of Partial Differential Equations (semilinear wave and Schrödinger equations, exponential type nonlinearities, Navier-Stokes equations). The aim of this talk is to present results on the charac- terization of the lack of compactness of 2D critical Sobolev embedding and to investigate the feature of the solutions of non linear wave equation with exponential growth. |
| 11h15 - 12h15 | Amaury Mouchet (Tours) | Trous spectraux
algébriques Résumé: Une méthode inédite pour trouver des intervalles interdits aux valeurs propres d'un opérateur spectral est présentée. À titre d'illustration, on traitera le cas d'un oscillateur quartique où l'on conjecture, à partir d'observations numériques, que l'on dispose alors d'un algorithme algébrique simple permettant de séparer les énergies du hamiltonien, y compris dans le régime tunnel d'un double puits. |
| Déjeuner | ||
| 14h - 15h | Jean Bellissard (Georgia Tech) | Géométrie
Riemannienne sur les Espaces Métrique Compacts Résumé: Les espaces de pavages utilisés pour décrire la structure microscopique d'un solide apériodique sont des espaces compacts métrisables. Certaines métriques ont une signification géométrique ou combinatoire, d'autres ont une origine physique décrivant les énergies d'interaction entre atomes. Le problème actuel est de trouver un bon modèle décrivant la dynamique d'un tel solide dans la limite des très basses températures. Une possibilité est de définir sur ces espaces l'analogue de l'opérateur de Laplace-Beltrami. Un tel programme est devenu possible grâce à la formulation de Connes de la notion de variété Riemannienne non commutative. Nous explorerons les résultats récents concernant le cas des espaces de Cantor ultramétriques, avec certains résultats préliminaires concernant les espaces compact généraux. |
| 15h15 - 16h15 | Philippe Gravejat (Polytechnique) | Renormalisation
de la charge pour le modèle de Bogoliubov-Dirac-Fock
réduit Résumé: Le modèle de Bogoliubov-Dirac-Fock décrit, dans le cadre d'une approximation de type Hartree-Fock, la structure électronique d'électrons relativistes en présence d'un champ électrostatique externe. Dans cet exposé seront présentés deux travaux, en collaboration avec Mathieu Lewin et Éric Séré, au sujet de la construction de structures électroniques fondamentales à N électrons pour un modèle réduit, et de la renormalisation de la densité de charges associée au vide polarisé pour ce même modèle réduit. |
| 11h15 - 12h15 | Amandine Aftalion (Versailles-St-Quentin) | Two component
condensates: phase separation and vortex lattices Résumé: The aim of this talk is to describe the main features arising in the description of a rotating two component condensate. I will classify the ground states (regions of coexistence of the components, phase separation and symmetry breaking) and the types of defects. Analytical justifications of some phenomena will be made thanks to a nonlinear sigma model describing the condensate in terms of the total density and pseudo spin representation. In particular, we will estimate the total density in the Thomas-Fermi regime and derive a vortex energy that discriminates between the square and triangular vortex lattices. Finally, we will describe relations of this problem with De Giorgi type problems arising in elliptic PDEs and show how phase separation occurs as a Gamma limit of a Modica Mortola type energy. |
| Déjeuner | ||
| 14h - 15h | François Castella (Rennes) | Comportement
haute-fréquence du modèle de Maxwell-Bloch avec relaxations:
convergence vers un modèle couplé équation de Schrödinger-équations de
taux Résumé: On étudie le modèle de Maxwell-Bloch, qui décrit la propagation d'un laser dans un matériau constitué d'une collections d'atomes identiques, ainsi que l'interaction onde-matière associée. Le champ électromagnétique est décrit par les équations de Maxwell, tandis que la réaction des atomes au passage de l'onde est décrite par une équation de Liouville quantique, connue sous le nom d'équation de Bloch. Le couplage onde-matière est pris en compte à travers un terme quadratique dans les équations. Enfin, la tendance naturelle des atomes au retour vers l'équilibre thermodynamique est décrite par des termes de relaxation dans le système de Bloch. On se place dans un régime de haute fréquence et de faible couplage, de sorte que le système est raide. On montre la convergence vers un modèle non-raide à nonlinéarité cubique, qui couple une équation de Schrödinger pour l'enveloppe du champ électromagnétique et une équation de taux pour les taux d'occupation de chaque niveau d'énergie atomique. Le modèle limite décrit d'une part la diffraction du laser à travers la matière, d'autre part le couplage résonnant entre l'onde et les atomes, qui induit un processus de sauts entre niveaux atomiques, dont le taux est proportionnel au carré du champ électromagnétique. On obtient ainsi le modèle asymptotique physiquement pertinent. Sur le plan technique, notre analyse repose sur des outils de l'optique géométrique à trois échelles, dans un cadre plus singulier. En particulier, l'Ansatz naturel sort du strict cadre de l'optique géométrique. |
| 15h15 - 16h15 | Nicolas Burq (Orsay) | Équations
d'ondes à données aléatoires. Résumé: On se propose dans cet exposé d'exhiber des exemples de solutions de l'équation des ondes (linéaire ou non-linéaire) pour lesquelles on peut dire que si on choisit au hasard les données initiales, alors le comportement dynamique est "meilleur" que ce que prédit la théorie déterministe. Je parlerai aussi un peu du comportement des fonctions propres du Laplacien en lien avec une approche probabiliste. Il s'agit d'un travail en commun avec G. Lebeau. |
| 11h15 - 12h15 | Søren Fournais (Aarhus) |
Relativistic
Scott correction in self-generated magnetic fields Abstract: We consider a large neutral molecule with total nuclear charge This is joint work with László Erdös and Jan Philip Solovej. |
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| 14h - 15h | Christophe Cheverry (Rennes) | Optique géométrique et analyse semi-classique appliquées à la propagation d'ondes océaniques Résumé: Deux grands types d'ondes se propagent dans les océans : les ondes dePoincaré et les ondes de Rossby. Leur description sur des temps longs (plusieurs mois) fait apparaître de la dispersion pour les premières et des trajectoires captées pour les secondes. L'objectif de cet exposé est de présenter des travaux obtenus en collaboration avec I.Gallagher, T.Paul et L.Saint-Raymond, permettant de rendre compte de ces deux phénomènes via des méthodes issues de l'optique géométrique et de l'analyse semi-classique. |
| 15h15 - 16h15 | Wojciech De Roeck (Heidelberg) |
Quantum Brownian motion Résumé: This talk concerns the rigorous derivation of diffusion, thermalization and decoherence in simple quantum systems: a spin or a particle interacting with phonons. Our approach takes the Markovian description (Pauli master equation or quantum Boltzmann equation) as a starting point. However, since such a Markovian description is only valid in a certain scaling limit (vanishing coupling constant and long time), we develop an expansion around the Markovian description to control the behavior at finite coupling constant. This expansion consists of a controlled renormalization group flow with Brownian motion as the fixed-point solution. The long-range nature of the velocity-velocity correlation function is an example of a physical quantity that is not described correctly within the Markovian description (cf.Alder-Wainwright), but that is captured by our approach. |