| 11h15 - 12h15 | Roberto Livi (Florence & Cergy |
Negative temperature states in the Discrete Nonlinear Schrödinger
Equation
Résumé: We describe how negative temperature states may appear in the form of breathers coupled to a background in the Discrete Nonlinear Schrödinger Equation. We shall also discuss how transport properties are affected by the presence of such a kind of nonlinear excitations. |
| Déjeuner | ||
| 14h - 15h | Stanislas Kupin (Bordeaux) | Itô stochastic
calculus, potential theory and applications to Schrödinger
operators.
Résumé: We observe that some special Itô diffusions are related to scattering properties of a Schrödinger operator on Rd, d>1. We introduce Feynman-Kac type formulae for these stochastic processes which lead us to results on the preservation of the a.c. spectrum of the Schrödinger operator. To better understand the analytic properties of the processes, we construct and study a special version of the potential theory. The modified capacity and harmonic measure play an important role in these considerations. We conclude with various applications to spectral properties of Schrödinger operators. The work is joint with S. Denisov |
| 15h15 - 16h15 | Julien Royer (Nantes) | Estimations
uniformes de la résolvante pour l'équation de Helmholtz
nonautoadjointe. Résumé: On s'intéresse dans cet exposé aux estimations uniformes de la résolvante pour l'équation de Helmholtz. Par rapport au résultat de D. Robert et H. Tamura, on autorise un indice d'absorption variable, ce qui nous amène à travailler avec un opérateur de Schrödinger non-autoadjoint. On commencera par rappeler les résultats obtenus dans un cadre dissipatif (indice d'absorption positif), puis on verra comment traiter le cas où l'indice d'absorption peut prendre des valeurs négatives. |
| 11h15 - 12h15 | Robert Seiringer (McGill) |
The excitation spectrum for weakly interacting bosons
Résumé: We investigate the low energy excitation spectrum of a Bose gas with weak, long range repulsive interactions. In particular, we prove that the Bogoliubov spectrum of elementary excitations with linear dispersion relation for small momentum becomes exact in the mean-field limit. |
| Déjeuner | ||
| 14h - 15h | Jens Marklof (Bristol) | From the Lorentz
gas to random graphs: new applications of measure rigidity
in statistical physics, number theory and combinatorics
Résumé: Measure rigidity of flows on homogeneous spaces is a powerful tool that has recently seen many spectacular applications in number theory and mathematical physics. In this lecture I will discuss applications of measure rigidity to three seemingly unrelated problems: kinetic transport in the periodic Lorentz gas, diameters of random circulant graphs and Frobenius's coin exchange problem. |
| 15h15 - 16h15 | Laurence Nédélec (Stanford) | Une minoration
optimale pour des résonances d'un résonateur de Helmholtz Résumé: En utilisant une géométrie très simple (celle d'une cavité reliée, par un petite tube de taille h, à un grand tube), nous arrivons à obtenir une minoration sur la partie imaginaire des résonances. Cette minoration, optimale, est en e-Ch. Collaboration avec A.Martinez. |
| 11h15 - 12h15 | Maciej Zworski (Berkeley et Paris-Nord) |
Resolvent estimates for normally hyperbolic trapped sets
Résumé: We give pole free strips and estimates for resolvents of semiclassical operators which, on the level of the classical flow, have normally hyperbolic smooth trapped sets of codimension two in phase space. Such trapped sets are structurally stable and our motivation comes partly from considering the wave equation for Kerr black holes and their perturbations, whose trapped sets have precisely this structure. We give applications including local smoothing effects with epsilon derivative loss for the Schrödinger propagator as well as local energy decay results for the wave equation. |
| Déjeuner | ||
| 14h - 15h | Agis Athanasoulis (Cambridge) | Quantum
selection principles for ill-posed classical problems
Résumé: A successful paradigm of semiclassical analysis has been that of Wigner measures : the Wigner function for a quantum problem satisfies a quantum kinetic equation ; in the semiclassical limit it converges to a phase-space probability measure satisfying a classical kinetic equation, typically of Liouville or Vlasov type. Such convergence results sometimes hold even for classical equations that are not well-posed for measure-valued initial data. In the last few years this possible loss of uniqueness in the limit classical equation has attracted more systematic attention. In some cases it is possible to extract the missing information from the quantum problem, and thus select the correct weak solution of the classical problem. This information is lost in the proper classical limit (i.e. cannot be extracted from the Wigner measure itself) ; it is thus a sort of "quantum residual" datum. I will talk about a recent result of this type for a linear problem with potential in C1\ C1,1, as well as an attempt to place it in perspective among other works on ill-posed semiclassical limits. This work is joint with T. Paul. |
| 15h15 - 16h15 | Florian Méhats (Rennes) | Sur le problème
de réalisabilité de moment pour l'hydrodynamique quantique Résumé: Je parlerai du problème inverse suivant : est-ce que l'énergie libre quantique (entropie de von Neumann + énergie cinétique) admet un unique minimiseur parmi les opérateurs densité qui admettent une densité locale donnée? La réponse à cette question permet de définir une notion d'équilibre quantique local, ou "Maxwellienne quantique", sur laquelle se basent des modèles hydrodynamiques quantique obtenus récemment de façon formelle. Nous donnons une caractérisation de l'unique minimiseur pour ce problème, à l'aide d'un potentiel chimique quantique. |
| 11h15 - 12h15 | Giandomenico Orlandi (Verona) |
Surfaces minimales de type temps et limites singulières d’EDP
hyperboliques
Résumé: Inspirés des cas correspondants dans le cadre elliptique et parabolique, nous décrivons une approche non paramétrique (au sens des varifolds) pour les surfaces minimales dans l’espace-temps de Minkowski, qui décrivent une loi d'évolution (relativiste) par courbure moyenne à caractère hyperbolique donnant lieu à l’apparition de singularités en temps fini. Nous allons discuter aussi le problème de l’approximation d'une telle loi d’évolution par le biais d’équations hyperboliques semilinéaires de type Ginzburg- Landau, dans une limite singulière convenable. |
| Déjeuner | ||
| 14h - 15h | Yves Colin de Verdière (Grenoble) | Sur la
singularité en t = 2π de la distribution spectrale du
disque euclidien
Résumé: Soit Z(t)=tr exp(it(-Δ)1/2), où Δ est le laplacien de Dirichlet dans le disque euclidien de rayon 1. Il est connu que les singularités de la distribution Z(t) sont les longueurs des polygones réguliers inscrits dans le cercle et leurs points d’accumulation, les multiples de 2π. En particulier Z(t) est lisse dans l’intervalle ouvert ]2π, 8[. Dans un travail avec Victor Guillemin et David Jerison, nous avons montré que Z(t) est lisse sur [2π, 8[. |
| 15h15 - 16h15 | Takuya Watanabe (Ritsumeikan University) | Adiabatic
transition probability for a small eigenvalue gap from the viewpoint
of the exact WKB method Résumé: We consider a time-dependent Schrödinger equation whose Hamiltonian is a 2 × 2 real symmetric matrix. We study, using an exact WKB method developed by Fujiié, Lasser and Nédélec, the adiabatic limit of the transition probability in the case where two eigenvalues make avoided crossings with a small gap. The asymptotics of turning points with respect to a small gap parameter depend on the vanishing order of the eigenvalue near the avoided crossing. We will discuss the relations between one tangential avoided crossing and two linear avoided crossings from the viewpoint of the exact WKB method. |
| 11h15 - 12h15 | Olivier Giraud (LPTMS, Orsay) |
Multifractality and spectral properties for critical random matrix
ensembles
Résumé: Fractal and multifractal behaviors can be found in a variety of classical systems. In quantum mechanics, wavefunctions in the Anderson model of electrons in a disordered potential display multifractality at the metal-insulator transition. Similar properties can be observed in certain quantum maps whose spectral statistics are intermediate between the Wigner distribution typical of chaotic systems and the Poisson distribution characteristic of integrable systems. Here I will investigate the multifractality properties of such intermediate quantum maps. I will introduce new families of random matrix ensembles based on Lax matrices of classically integrable Calogero-Moser systems, which give new non-trivial examples of intermediate statistics. I will present numerical evidence as well as analytical perturbation-theory arguments showing that the information dimension is related to the level compressibility of the spectrum." |
| Déjeuner | ||
| 14h - 15h | Camille Laurent (CMAP, Ecole Polytechnique) | Sur la
stabilisation et le contrôle de l'équation de Klein-Gordon critique
sur une variété de dimension 3
Résumé: On étudie la stabilisation et le contrôle interne de l'équation de Klein-Gordon critique sur des variétés de dimension 3. Sous des conditions géométriques légèrement plus fortes que la condition de contrôle géométrique classique, on prouve la décroissance exponentielle de solutions bornées dans l'espace d'énergie mais petites dans des normes plus faibles. La preuve combine la décomposition en profils et des arguments microlocaux. Cette décomposition, analogue à celle de Bahouri-Gérard sur R3, nécessite l'analyse de certains effets dus à la géométrie. Elle utilise des résultats de S. Ibrahim sur le comportement d'ondes de concentration sur les variétés. |
| 15h15 - 16h15 | Maher Zerzeri (Paris 13) | Fonction de
décalage spectral pour des
perturbations fortes de l'opérateur de Schrödinger périodique Résumé: Nous présenterons la fonction de décalage spectral pour des perturbations de l'opérateur de Schrödinger périodique sur Rn, pour des grandes constantes de couplages µ. Nous donnerons un développement asymptotique complet en puissances de µ-1/d (au sens des distributions et ponctuel) de la dérivée de la fonction de décalage spectral correspondant au couple (Pµ=P0+µW(x), P0=-Δ+V(x)), où le potentiel V(x) est lisse et périodique, W(x) est positif, satisfaisant W(x)~w(x/|x|)|x|-d près de l'infini pour un certain d>n. Pour la preuve nous établissons un théorème d'absorption limite pour l'opérateur Pµ. Cet exposé est basé sur un travail en collaboration avec Mouez Dimassi. |
| 11h15 - 12h15 | Shimon Brooks (Stony Brook) |
Pointwise Entropies of Semi-classical Measures
Abstract: There has been much recent work investigating bounds for the (Kolmogorov-Sinai) entropy of a semiclassical measure. There is also the important notion of pointwise entropy, which contains slightly finer information than the overall entropy, and is better suited to the tools of ergodic theory. We will survey known results on pointwise entropies, and give a few applications to the classification of semi-classical measures. |
| Déjeuner | ||
| 14h - 15h | Oana Pocovnicu (Orsay) | Explicit formula
for the solution of the Szegö equation on the real line and applications Abstract: The Szegö equation is a model of a non-dispersive Hamiltonian equation. Like the one dimensional cubic nonlinear Schrödinger equation and KdV, it is completely integrable in the sense that it possesses a Lax pair structure. As a consequence, it turns out that a whole class of finite dimensional manifolds, consisting of rational functions, is invariant under the flow of the Szegö equation. In this talk, we consider the Szegö equation on the real line. First, we find an explicit formula for the solutions. As a first application, we show that solutions with generic rational functions initial conditions can be decomposed, as time tends to infinity, into a sum of solitons plus a remainder ("soliton resolution"). Not only does this remainder disperse, as in the case of KdV, but also its energy tends to zero as time tends to infinity. The second application of the explicit formula is the definition of generalized action-angle coordinates on the manifolds of generic rational functions. In particular, this shows that most trajectories of the Szegö equation spiral around Lagrangian toroidal cylinders, which are non-compact generalizations of the Lagrangian tori in the Liouville-Arnold theorem. |
| 15h15 - 16h15 | Sylvain Golénia (Bordeaux) | The problem of
deficiency indices for discrete Schrödinger operators Abstract: The self-adjoint extensions of a symmetric operator acting on a complex Hilbert space is characterized by its deficiency indices. Given a locally finite unoriented simple tree, we prove that the deficiency indices of any discrete Schrödinger operator are either null or infinite. We also discuss essential self-adjointness. |
| 11h15 - 12h15 | Alex Sobolev (University College London) |
On the Szegö type asymptotic formulae in high dimensions
Résumé: Relying on the known two-term Szegö asymptotic formula for the trace of the func- tion f(A) of a truncated Wiener-Hopf type operator A in dimension one, in 1982 H.Widom conjectured an appropriate multi-dimensional generalization of that formula. I will present a proof of Widom's conjecture and discuss applications and variants of these asymptotics. |
| Déjeuner | ||
| 14h - 15h | Karel Pravda-Starov (Cergy) | Anisotropic
hypoelliptic estimates for Landau-type operators
Résumé: We establish global hypoelliptic estimates for linear Landau-type operators. Linear Landau-type equations are a class of inhomogeneous kinetic equations with anisotropic diffusion whose study is motivated by the linearization of the Landau equation near the Maxwellian distribution. By introducing a microlocal method by multiplier which can be adapted to various hypoelliptic kinetic equations, we establish for linear Landau-type operators optimal global hypoelliptic estimates with loss of 4/3 derivatives in a Sobolev scale which is exactly related to the anisotropy of the diffusion. This is joint work with F.Hérau. |
| 15h15 - 16h15 | Thomas Duyckaerts (Cergy) | Maximum des
normes de Strichartz pour des équations de Schrödinger non-linéaires. Résumé: D'après les inégalités de Strichartz (1977), les solutions de l'équation de Schrödinger linéaire sont dans des espaces Lp globaux dans les variables (t,x). Cette propriété persiste pour les solutions scattering des équations non-éaires correspondantes. Dans cet exposé, je donnerai, sur deux exemples, des estimations précises de ces normes dans ce cadre non-linéaire. La motivation est de voir le plus précisément possible l'effet de la non-linéarité sur des solutions qui ont un comportement essentiellement linéaire. Cet exposé sera basé sur deux articles en collaboration avec F.Merle, et F.Merle et Svetlana Roudenko. |
| 11h15 - 12h15 | Alexander Pushnitski (King's College London) |
Asymptotic density of eigenvalue clusters of the perturbed Landau
Hamiltonian Résumé: I will discuss the spectrum of the Landau Hamiltonian (i.e. the two-dimensional Schrödinger operator with a constant homogeneous magnetic field) perturbed by an electric potential of compact support. The spectrum of this Hamiltonian consists of clusters of eigenvalues around the Landau levels. It turns out that the the density of eigenvalues in the N'th cluster for large N can be described by means of a simple semiclassical formula. The formula has been inspired by the classical result of A.Weinstein about the eigenvalue clusters for a Laplacian plus a potential on a sphere. The talk is based on a recent joint work with Georgi Raikov and Carlos Villegas-Blas. |
| Déjeuner | ||
| 14h - 15h | Sergiu Moroianu (IMAR, Bucarest) | Laplaciens
magnétiques sur des variétés à bouts de type "cusp"
Résumé: Je présenterai deux propriétés du spectre des laplaciens magnétiques pour une classe de variétés qui inclut les variétés hyperboliques complètes de volume fini. Je mettrai en évidence, pour des champs magnétiques B à support compact, une correspondence entre l'absence du spectre continu et l'intégralité de la classe de cohomologie à support compact [B]. Dans ce contexte l'existence des valeurs propres plongées pour le laplacien scalaire est un problème ouvert. En revanche, je donnerai des exemples en dimension 4 où le laplacien de Hodge en degré 3 est à spectre purement discret. Ce travail est en collaboration avec Sylvain Golénia. |
| 15h15 - 16h15 | Nikolay Tzvetkov (Cergy) | Mesures de Gibbs
pour l'oscillateur non-linéaire
Résumé: Nous allons présenter la construction d'une mesure de Gibbs formellement invariante par le flot de l'équation de Schrödinger non linéaire en présence d'un potentiel harmonique. Ensuite, on discutera la preuve de l'invariance de la mesure. Il s'agit d'un travail en collaboration avec Nicolas Burq et Laurent Thomann. |