Page personnelle de Damien Thomine

Generalized rotation sets of Anosov-Katok torus diffeomorphisms, and their action on the fine curve graph

Generalized rotation sets were introduced by Guihéneuf and Militon. While the classical rotation set does not capture sublinear diffusion of orbits, such growth can be captured by the generalized rotation set. The Anosov-Katok class of diffeomorphisms is a source of many interesting examples in smooth dynamics. For example a Baire generic diffeomorphism of this class is weak-mixing. In this talk, we will discuss the homothety types of generalized rotation sets in the Anosov-Katok class, showing that they are very rich. Specifically, any compact convex point symmetric homothety type is realized as a generalized rotation set of generic Anosov-Katok diffeomorphisms. If time allows, we will talk about the action of generic Anosov-Katok diffeomorphisms on the fine curve graph.

Date et lieu : Lundi 24 juin 2024, 10h15-11h45, en salle 2L8 de l'IMO.

Sous-groupes projectivement Anosov, flots localement homogènes et mélange exponentiel

Les sous-groupes projectivement Anosov de SL(n,R) ont été introduits (par Labourie) puis étudiés comme des généralisations des sous-groupes convexe-cocompacts de SL(2,R). Dans le cas de SL(2,R), cette propriété se lit sur la dynamique uniformément hyperbolique du flot géodésique du quotient du plan hyperbolique par un tel sous-groupe.

Dans un travail commun avec B Delarue et A. Sanders, nous expliquons comment retrouver cette même propriété de dynamique uniformément hyperbolique pour un flot sur le quotient d'un ouvert d'un espace homogène de SL(n,R) qui généralise le flot géodésique du plan hyperbolique pour SL(2,R), mais qui n'est pas le flot géodésique de l'espace symétrique de SL(n,R) (puisque ce dernier ne vit pas sur un espace homogène quand n>2).

Nous montrons le mélange exponentiel pour ces flots, et en déduisons des formules de comptage avec terme d'erreur exponentiel pour le nombre de classes de conjugaisons dont le rayon spectral est majoré (le terme dominant du développement asymptotique étant du à A. Sambarino).

Si le temps le permet, j'expliquerai également comment appliquer ce résultat au flot géodésique des convexes divisibles à bord C^1.

Date et lieu : Lundi 3 juin 2024, 10h15-11h45, en salle 2L8 de l'IMO.

Closed orbits of contact actions

A contact action is an action of the Euclidean space R^q which generalises the Reeb flow on a contact manifold. With the Weinstein conjecture for Reeb fields in mind, a natural question is if every contact action on closed manifolds has closed orbits.

In this talk, we will see that closed orbits always exist if certain dynamical and geometrical conditions are imposed on the metric, generalising positive answers of the classical Weinstein conjecture. Moreover, in these same cases we can bound the number of closed orbits from below using cohomological properties of the orbit foliation.

Date et lieu : Lundi 13 mai 2024, 10h15-11h45, en salle 2L8 de l'IMO.

On non-concentration of Birkhoff sums

Consider a smooth Axiom A diffeomorphism f on a surface M, and consider some smooth observable phi : M -> R. The goal of this talk is to discuss a (generic) non-concentration result on Birkhoff sums of phi. The key ingredient is a rigidity phenomenon on some "temporal distance function", which allows us to find oscillations everywhere and at all scales for some dynamical quantities. The strategy is heavily inspired from a recent paper of M. Tsujii and Z. Zhang: "Smooth mixing Anosov flows in dimension three are exponential mixing" (Annals of Maths, 2023).

Date et lieu : Lundi 25 mars 2024, 10h15-11h45, en salle 2L8 de l'IMO.

Chaotic phenomena to L3 in the Restricted 3-Body Problem

The Restricted 3-Body Problem models the motion of a body of negligible mass under the gravitational influence of two massive bodies, called the primaries. If the primaries perform circular motions and the massless body is coplanar with them, one has the Restricted Planar Circular 3-Body Problem (RPC3BP). In synodic coordinates, it is a two degrees of freedom Hamiltonian system with five critical points, L1,..,L5, called the Lagrange points. The Lagrange point L3 is a saddle-center critical point (collinear with the primaries and beyond the largest one) with a 1-dimensional stable and unstable manifold. When the ratio between the masses of the primaries is small, the modulus of the hyperbolic eigenvalues are weaker than the elliptic ones.

In this work, we present an asymptotic formula for the distance between the stable and unstable manifolds of L3. Due to the rapidly rotating dynamics, this distance is exponentially small with respect to the mass ratio and, as a result, classical perturbative methods (i.e the Melnikov-Poincaré method) can not be applied. By means of this result, we prove that the stable and unstable invariant manifolds of Lyapunov periodic orbits exponentially close to L3 intersect transversally. By the Smale-Birkhoff homoclinic theorem, this implies the existence of chaotic motions exponentially close to L3 and its invariant manifolds. In addition, we also show the existence of a generic unfolding of a quadratic homoclinic tangency which leads to the existence of Newhouse domains for the RPC3BP.

This is a joint work with Inma Baldomá and Marcel Guardia.

Date et lieu : Lundi 11 mars 2024, 10h15-11h45, en salle 2L8 de l'IMO.

A discussion on measure disintegration and invariant foliations

In this talk I would like to present some results concerning the disintegration of measures on invariant foliation for a given dynamics. There is a conjecture for Anosov system which states that if the stable and unstable foliations are regular enough (in this case smooth), then we obtain a rigidity result (the Anosov diffeomorphism is smoothly conjugate to its linearization). Now what we do is to investigate in the same spirit, but for the center foliation of a partially hyperbolic diffeomorphism. What we can show is that if the center foliation has a sufficient metric regularity (a form of uniform absolute continuity), then we also obtain rigid results (e.g. smooth conjugacy with Anosov diffeomorphism/endomorphism). Hence, the main theme of the talk is concerning disintegration of measures and its implications on dynamics.

References:

• Cantarino, M. ; Varão, R. Anosov endomorphisms on the two-torus: regularity of foliations and rigidity. Nonlinearity (2023).
• Noriega, M. ; Ponce, G. Varão, R. Classification of Conditional Measures Along Certain Invariant One-Dimensional Foliations. arXiv:1812.00057.

Date et lieu : Lundi 5 février 2024, 10h15-11h45, en salle 2L8 de l'IMO.

Classification des isométries du graphe des courbes fin

Le graphe des courbes fin est un espace Gromov-hyperbolique associé à chaque surface. Il a été introduit récemment dans le but d'étudier le groupe des homéos de la surface : ceux-ci agissent dessus par isométries. Gromov nous dit que ces actions par isométries peuvent être de trois types : elliptique, parabolique ou hyperbolique (comme pour H^2). Nous verrons comment cette classification se traduit en termes dynamiques, via les propriétés rotationnelles des homéos.

Travail en commun avec Emmanuel Militon.

Date et lieu : Lundi 22 janvier 2024, 10h15-11h45, en salle 2L8 de l'IMO.

Déterminants du Laplacien sur des surfaces aléatoires

On motivera l'introduction du déterminant du Laplacien par des questions de théories quantiques du champ et de topologie des variétés. On expliquera ensuite comment, dans le cadre de divers modèles de surfaces aléatoires, on peut faire une étude probabiliste du comportement du déterminant dans la limite de grand genre.

Date et lieu : Lundi 8 janvier 2024, 10h15-11h45, en salle 2L8 de l'IMO.

Produits tordus au dessus des sous-décalages dont la fibre est un espace vectoriel

On regardera des propriétés d'ergodicité et de mélange des systèmes comme celui du titre, ainsi que pour des produits tordus au-dessus de flots d'Anosov. On motivera leur étude en montrant le lien entre ces systèmes et les représentations de groupes hyperboliques dans SL(n,R) dites d'Anosov.

Date et lieu : Lundi 11 décembre 2023, 14h-15h30, en salle 3L8 de l'IMO.

Billards dissipatifs

Avec Martin Leguil et Olga Bernardi, nous étudions la dynamique de billards convexes dissipatifs où la loi de réflexion est remplacée par une loi pour laquelle l'angle se rapproche de la normale après chaque collision. Pour l'application billard associée, il existe un attracteur global : dans notre travail, nous regardons un sous-ensemble invariant de cet attracteur, l'attracteur de Birkhoff. Ce dernier fut introduit par Birkhoff et étudié dans les travaux de Charpentier et Le Calvez. Notre but est de comprendre combien l'attracteur de Birkhoff peut être compliqué, du point de vue topologique et dynamique, pour des billards convexes dissipatifs.

Date et lieu : Lundi 13 novembre 2023, 14h-15h30, en salle 3L8 de l'IMO.

Extensions des flots Anosov : ergodicité, mélange et vitesse de mélange

Le but de cet exposé sera de décrire quelques résultats récents sur les propriétés statistiques (ergodicité, mélange, mélange rapide, etc.) des systèmes partiellement hyperboliques construits comme extensions isométriques des flots Anosov.

On insistera notamment sur les extensions linéaires du flot géodésique des variétés à courbure négative. Cet exemple met en relation des domaines des mathématiques a priori assez décorrélés : on verra notamment que l'ergodicité y est liée de façon surprenante à des problèmes en géométrie algébrique réelle de classification d'applications polynomiales entre sphères.

Date et lieu : Lundi 16 octobre 2023, 14h-15h30, en salle 3L8 de l'IMO.

Théorèmes d'équidistribution vers la mesure d'équilibre d'un endomorphisme de l'espace projectif complexe.

Date et lieu : Lundi 1er juillet 2024, 10h15-11h45, en salle 2L8 de l'IMO.

Fonctions Quasi-pluri-sous-harmoniques sur P^n (C).

Date et lieu : Lundi 10 juin 2024, 10h15-11h45, en salle 2L8 de l'IMO.

Fonctions Pluri-sous-harmoniques, III

Fonctions pluri-sous-harmoniques maximales : Inégalité de Chern-Levine-Nirenberg et théorème de comparaison. Caractérisation des fonctions pluri-sous-harmoniques maximales localement bornées.

Conjugaison d'automorphismes du plan complexe d'après Cantat et Dujardin

Présentation de l'énoncé et de la démonstration d'un théorème très récent de S. Cantat et R. Dujardin : des automorphismes du plan complexe conjugués sont polynômialement conjugués.

Date et lieu : Lundi 8 avril 2024, 10h15-11h45, en salle 2L8 de l'IMO.

Fonctions Pluri-sous-harmoniques, II

Invariance par transformations holomorphes des fonctions pluri-sous-harmoniques. Ensembles pluri-polaires. Fonctions pluri-sous-harmoniques maximales : définition et caractérisation dans le cas des fonctions deux fois continûment différentiables.

Date et lieu : Lundi 18 mars 2024, 10h15-11h45, en salle 2L8 de l'IMO.

Fonctions Pluri-sous-harmoniques, I

Notions de formes différentielles et de courants. Fonctions pluri-sous-harmoniques.

Date et lieu : Lundi 4 mars 2024, 10h15-11h45, en salle 2L8 de l'IMO.

Mesures d'entropie maximale II : Equidistribution des orbites périodiques

Using potential theory, we will prove that for a polynomial of degree greater or equal to 2, we will first see that the asymptotic distribution of predecessors converges toward the equilibrium measure on the Julia set. Next, we will show the same result, using the same argument, for the asymptotic distribution of periodic points.

Date et lieu : Lundi 29 janvier 2024, 10h15-11h45, en salle 2L8 de l'IMO.

Mesures d'entropie maximale, I

Date et lieu : Lundi 15 janvier 2024, 10h15-11h45, en salle 2L8 de l'IMO.

Théorie du potentiel, II

Date et lieu : Lundi 18 décembre 2023, 14h-15h30, en salle 1A8 de l'IMO.

Théorie du potentiel, I : Fonctions sous-harmoniques, énergie d'un compact

Date et lieu : Lundi 20 novembre 2023, 14h-15h30, en salle 1A8 de l'IMO.

Répartition des exposés

Date et lieu : Lundi 6 novembre 2023, 14h-15h30, en salle 1A8 de l'IMO.

Séance de présentation

Date et lieu : Lundi 23 octobre 2023, 14h-15h30, en salle 1A8 de l'IMO.