La méthode de Boltzmann sur réseau est une méthode numérique qui permet d'approcher les solutions d'équations aux dérivées partielles. Elle est considérée comme extrêmement efficace pour plusieurs raisons :
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l'algorithme est très simple à programmer ;
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la méthode est explicite et ne nécessite aucune résolution de systèmes linéaires ;
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les opérations sont pour la plupart locales en mémoire ce qui permet une accélération efficace en parallélisant le code.
Ses multiples avantages font sa popularité et ses champs d'applications s'étendent actuellement des équations de la mécanique des fluides (Navier-Stokes mais aussi physique des plasmas) à la mécanique des solides, aux milieux poreux... Cependant les résultats mathématiques permettant de garantir la qualité de la solution numérique calculée sont peu nombreux et nécessitent le développement de nouveaux outils. C'est un domaine de recherche en mathématiques qui est actuellement en pleine expansion.
La méthode de Boltzmann sur réseau consiste, dans sa version la plus pure, à faire évoluer sur un maillage cartésien des fonctions
densités de particules selon un algorithme imitant une version discrète de l'équation de Boltzmann décrivant l'état statistique d'un gaz hors de l'équilibre thermodynamique.
L'objectif de ce cours est avant tout de présenter les différentes étapes de l'algorithme afin de comprendre son comportement et ses qualités.
Nous introduirons ensuite les différents outils mathématiques nécessaires à l'étude en particulier de la consistance, de la stabilité et de la convergence de ces schémas. Nous étudierons certains schémas les plus simples et les plus populaires permettant de simuler des systémes hyperboliques comme les équations de transport, de Bürgers, de Saint-Venant ou d'Euler mais aussi des équations paraboliques comme l'équation de la chaleur.
Nous nous appuierons sur un logiciel libre
pylbm afin de tester rapidement et simplement la méthode. Des séances de travaux pratiques sur machine seront en particulier dédiées à l'utilisation de la méthode pour améliorer la compréhension de ses propriétés.
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