L’objectif de cette conférence est d’expliquer et de motiver les objets centraux de ma recherche : les sous-groupes paraboliques. Les tresses sont des objets polyvalents, car elles possèdent des descriptions à la fois topologiques et purement algébriques. Avec la définition topologique, nous trouvons des généralisations comme les groupes de classes de difféomorphismes (mapping class groups), et avec la définition algébrique, la généralisation la plus importante est celle des groupes d’Artin. Très peu de choses sont connues sur les groupes d’Artin : les problèmes classiques de Dehn restent ouverts dans de nombreux cas, et la célèbre conjecture $K(\pi,1)$ pour ces groupes n’est pas encore démontrée.

Pour en savoir plus, une stratégie consiste à examiner comment les stratégies topologiques utilisant l’action du groupe de tresses sur le complexe des courbes d’une surface se traduisent dans le contexte algébrique. Les généralisations algébriques des courbes dans ce contexte sont précisément les sous-groupes paraboliques. Pour la conjecture $K(\pi,1)$, des complexes simpliciaux sont souvent utilisés, et ils entretiennent une relation étroite avec les sous-groupes paraboliques, qui en sont des objets fondamentaux. 

Pendant cet exposé, nous discuterons des grandes questions ouvertes liées aux sous-groupes paraboliques, de leur rôle dans la conjecture $K(\pi,1)$, et des différentes stratégies disponibles pour avancer dans cette direction.