Si les opérateurs elliptiques sont le centre d'une littérature vaste et diversifiée, ceux-ci s'inscrivent pourtant dans une classe plus large d'opérateurs, dits sous-elliptiques, dont l'étude possède encore de nombreuses zones d'ombre. Ceci s'explique par les limitations des outils que nous offre l'analyse microlocale usuelle. En effet, prenons le cas de l'opérateur de Laplace-Beltrami sur une variété riemannienne: l'idée fondamentale de l'analyse microlocale consiste à "geler" les coefficients localement pour se ramener à l'étude du Laplacien sur l'espace euclidien. Dans le monde sous-elliptique, le cadre géométrique sous-jacent naturel s'étend alors à celui de la géométrie sous-riemannienne, tandis que l'espace euclidien vient remplacé par un groupe de Lie nilpotent. Dans cet exposé, pour des groupes nilpotents simples, je présenterai comment il est possible d'utiliser leur analyse harmonique pour construire un calcul pseudodifférentiel adapté. Afin de donner une application à ces outils, je présenterai un résultat concernant les propriétés dispersives du sous-Laplacien sur le groupe d'Engel.