Dans cet exposé, je présenterai quelques résultats récents sur une équation de Schrödinger quasi-linéaire avec une non-linéarité de type puissance. Après avoir montré l'unicité et la non-dégénérescence de la solution radiale positive $u_\omega$ pour tout $\omega>0$, je décrirai son comportement asymptotique dans la limite $\omega\to 0$. Ceci donne des informations importantes sur la stabilité orbitale de $u_\omega$ et l'unicité des états fondamentaux normalisés. Ce travail a été réalisé en collaboration avec François Genoud.