Le thème général de cette thèse est la géométrie aléatoire.
Nous commençons par étudier la métrique aléatoire construite par Kendall à partir d'un processus de Poisson de routes auto-similaire dans l'espace euclidien (par routes, nous entendons droites avec des limitations de vitesse).
Dans un premier temps, nous nous intéressons aux propriétés fractales de cet espace métrique aléatoire, qui est presque sûrement homéomorphe à l'espace euclidien, et dont nous calculons la dimension de Hausdorff comme une constante strictement plus grande que la dimension ambiante.
Dans un autre travail, nous considérons les propriétés des géodésiques pour cette métrique aléatoire, en montrant en particulier que dans le cas planaire, celles-ci ne font pas de pause en route (c'est-à-dire, n'utilisent pas de routes de vitesse arbitrairement petite en dehors de leurs extrémités), conformément à une conjecture de Kendall.
En étudiant de manière analogue une métrique aléatoire construite à partir d'un processus de Poisson de routes dans un arbre régulier, nous considérons le phénomène d'explosion et montrons que celui-ci présente une transition de phase : en fonction du paramètre qui régit les limitations de vitesse des routes, il est possible ou non de rouler vers l'infini en temps fini.
Indépendamment, nous étudions le modèle de coloriage poissonnien dans l'espace euclidien, et nous montrons que la frontière dans ce modèle est fractale, au sens où sa dimension de Hausdorff est comprise strictement entre la dimension ambiante moins un et la dimension ambiante.
Cela confirme une conjecture d'Aldous.
Enfin, nous nous intéressons aux distances entre points typiques dans les espaces métriques mesurés, en se demandant quelles lois sont la fonction à deux points d'un espace métrique mesuré.

The general subject of this thesis is random geometry.
We begin by studying the random metric constructed by Kendall from a self-similar Poisson process of roads (i.e, lines with speed limits) in Euclidean space.
First, we consider the fractal properties of this random metric space: almost surely, it is homeomorphic to the ambient Euclidean space, and we calculate its Hausdorff dimension to be a constant strictly greater than the ambient dimension.
Furthermore, we study the geodesics for this random metric, and prove in particular that in the planar case, they do not pause en route (i.e, use roads with arbitrarily low speed away from their endpoints), thus confirming a conjecture of Kendall.
Analogously, we study a random metric constructed from a Poisson process of roads in a regular tree, and consider the explosion phenomenon, which we show undergoes a phase transition: depending on the parameter which governs the speed limits of the roads, it is possible or not to drive to infinity in finite time.
Independently, we consider the Poissonian colouring model in Euclidean space, and prove that the frontier in this model is fractal, in the sense that its Hausdorff dimension lies strictly between the ambient dimension minus one and the ambient dimension.
This confirms a conjecture of Aldous.
Finally, we study distances between typical points in measured metric spaces, by investigating which distributions arise as the two-point function of a measured metric space.