Dans cette thèse, nous étudions de divers problèmes arithmétiques, notamment l’existence de points rationnels et l’approximation faible sur certaines variétés sur des corps de nombres et leurs analogues géométriques.

Après le premier chapitre d’introduction, nous présentons dans le deuxième chapitre quelques résultats obtenus par des calculs cocycliques en cohomologie galoisienne (abélienne ou non abélienne). Nous considérons d’abord une formule de Borovoi–Demarche–Harari pour le groupe de Brauer algébrique non ramifié d’espaces homogènes. Nous établissons ensuite le principe de Hasse et l’approximation faible pour une classe d’espaces homogènes de SLn sur un corps de nombres, à stabilisateurs géométriques finis nilpotents de classe 2, construits par Borovoi et Kunyavskii. Il s’agit d’un petit pas de plus vers une conjecture de Colliot-Thélène sur l’obstruction de Brauer–Manin pour les variétés rationnellement connexes.

Le troisième chapitre est consacré à une conjecture récemment formulée par Wittenberg, qui concerne la théorie de la descente (une méthode qui a été initialement développée par Colliot-Thélène et Sansuc). Nous démontrons cette conjecture pour les torseurs sous un groupe algébrique linéaire connexe, généralisant un résultat antérieur de descente d’Harpaz et Wittenberg pour les torseurs sous un tore. Nous le faisons en adaptant leur technique avec la machinerie d’abélianisation de cohomologie galoisienne non abélienne à la Borovoi. Nous allons également prouver une version de cette « conjecture de descente » dans le contexte des zéro-cycles.

Dans le dernier chapitre, nous suivons les travaux de Harari–Scheiderer–Szamuely, Izquierdo et Tian, en étudiant le principe local–global et l’approximation faible sur les corps de fonctions p-adiques. Sur ces corps, qui sont des corps de dimension cohomologique 3, il existe un analogue de dimension supérieure de l’obstruction de Brauer–Manin, qui repose sur la loi de réciprocité de Weil généralisée. Nous appliquons ici les théorèmes de dualité de type Poitou–Tate pour obtenir des résultats arithmétiques pour certains espaces homogènes. Nous y considérons également quelques corps de fonctions de dimension cohomologique supérieure à 3.