Cette thèse est consacrée au programme de Langlands modulo p pour GL₂.

Dans la première partie, j'étudie la dimension de Gelfand-Kirillov des représentations π provenant de la cohomologie modulo p des courbes de Shimura. Soit p un nombre premier et F un corps de nombres totalement réel non ramifié en des places divisant p. Soit r une représentation modulo p modulaire de dimension 2 du groupe de Galois de F qui satisfait l'hypothèse de Taylor-Wiles et quelques hypothèses techniques de généricité. Pour v une place fixée de F divisant p, on montre que de nombreuses représentations modulo p lisses admissibles de GL₂(Fᵥ) associées à r dans les espaces propres de Hecke correspondants de la cohomologie modulo p ont une dimension de Gelfand-Kirillov [Fᵥ:Qp]. Ceci s'appuie sur et étend les travaux de Breuil-Herzig-Hu-Morra-Schraen et de Hu-Wang, en donnant une preuve unifiée pour tous les cas (r semisimple ou non à v).

Dans la deuxième partie, j'étudie les (phi,Gamma)-modules étales D_A(π) associés aux représentations π provenant de la cohomologie modulo p des courbes de Shimura. Soit K une extension finie non ramifiée de Qp. Pour π une représentation modulo p lisse admissible de GL₂(K) satisfaisant certaines propriétés de multiplicité un, je calcule le rang du (phi,Gamma)-module étale D_A(π) associé défini par Breuil-Herzig-Hu-Morra-Schraen, ce qui étend leurs résultats.

Dans la troisième partie, j'étudie les propriétés de compatibilité local-global des (phi,Gamma)-modules étales D_A(π). Pour ⍴ une représentation modulo p réductible quelconque de dimension 2 du groupe de Galois de K, je calcule explicitement le (phi,Gamma)-module étale D_A(⍴) défini par Breuil-Herzig-Hu-Morra-Schraen. Ensuite, soit π une représentation modulo p lisse admissible de GL₂(K) apparaissant dans certains espaces propres de Hecke de la cohomologie modulo p et ⍴ sa représentation modulo p sous-jacente de dimension 2 du groupe de Galois de K. En supposant que ⍴ est maximalement non-scindée, je montre sous certaines hypothèses de généricité que le (phi,Gamma)-module étale D_A(π) défini par Breuil-Herzig-Hu-Morra-Schraen est isomorphe à D_A(⍴). Ceci étend leurs résultats, où ⍴ était supposé semisimple.