Les équations des ondes et de Schrödinger modélisent une grande variété de phénomènes ondulatoires, tels que la propagation de la lumière, les vibrations d'un objet ou l'évolution temporelle d'une particule quantique. Dans ces modèles, l'asymptotique des hautes énergies peut être décrite par des équations de la mécanique classique, comme l'optique géométrique. Dans cette thèse, nous étudions plusieurs applications de la correspondance classique-quantique à des problèmes de contrôle des équations des ondes et de Schrödinger dans l'espace euclidien, en utilisant des méthodes d'analyse microlocale.

 

Dans les deux premières parties, nous étudions l'équation des ondes amorties et l'équation de Schrödinger avec un potentiel confinant dans l'espace euclidien. Nous donnons des conditions nécessaires et suffisantes de stabilité uniforme pour la première, et d'observabilité pour la seconde. Ces conditions font intervenir la dynamique classique sous-jacente qui consiste en une optique géométrique tordue par la présence du potentiel.

 

Nous analysons ensuite dans une troisième partie la correspondance classique-quantique dans un cadre général qui contient les deux problèmes mentionnés ci-dessus. Nous démontrons une version du théorème d'Egorov dans le formalisme des métriques sur l'espace des phases et du calcul de Weyl--Hörmander. On présente différents cadres d'application de ce théorème pour des équations de Schrödinger, de demi-ondes et de transport.