Le théorème de régularité elliptique affirme que les solutions la meilleure régularité possible en termes des espaces de Sobolev.

En 1967, Hörmander a démontré que le sous laplacien X_1^2+...+X_n^2 est hypoelliptique si X_1,...,X_n satisfont la condition de Hörmander.

Dans cet exposé, on va unifier le théorème de régularité elliptique avec le théorème de Hörmander.

Etant donné une famille de champs de vecteurs X_1,...,X_n qui satisfont la condition de Hörmander, pour chaque opérateur différentiel D, on va définir un symbole principal de D (qui est égal au symbole principal classique si les champs de vecteurs engendrent linéairement l'espace de tangent en chaque point).

Notre théorème est que ce symbole est inversible à gauche si et seulement si l'opérateur D est hypoelliptique maximal, i.e., les solutions de D satisfont la meilleur régularité possible en termes des espaces de Sobolev définis en utilisant les champs de vecteurs X_1,...,X_n

Ceci confirme une conjecture de Helffer et Nourrigat.

Je vais présenter les idées clés de la démonstration et quelques généralisations et applications de notre théorème.

Ce travail est un travail en collaboration avec I. Androulidakis et R. Yuncken.

L'exposé sera précédé d'un exposé introductif par Bernard Helffer à 13h30 dans la même salle.