Dans cet exposé, je vais présenter une approche probabiliste de la théorie de jauge en deux dimensions. Dans ce cadre développé principalement par Driver et Sengupta dans les années 90 et systématisé par Lévy au début des années 2000, les intégrales de chemins sont formalisées par des moments de matrices aléatoires indexées par des chemins sur une surface, et dont la loi fait intervenir le noyau de la chaleur sur un groupe matriciel compact. J'exposerai des outils d'analyse harmonique et d'EDP permettant de comprendre le comportement limite de ces moments quand la taille des matrices tend vers l'infini, ce qui conduit à la construction d'une fonctionnelle appelée "champ maître". Bien que cette fonctionnelle ait été introduite par Singer en 1995, son existence a été démontrée seulement récemment, et uniquement pour certaines surfaces. Si le temps le permet, j'expliquerai en quoi les techniques utilisées pourraient s'appliquer à l'étude de métriques aléatoires sur des surfaces, un autre modèle probabiliste issu de la gravité quantique. Travail en collaboration avec Antoine Dahlqvist (University of Sussex).