On définit la hauteur de Griffiths d'une variation de structures de Hodge sur une courbe projective comme le degré de son fibré en droites canonique, tel qu'il est défini par Griffiths et généralisé par Peters afin de permettre des points de mauvaise réduction. On peut voir cette hauteur comme un analogue géométrique de la hauteur de Kato attachée aux motifs purs sur des corps de nombres. Dans ce mémoire, nous établissons diverses formules exprimant la hauteur de Griffiths de la cohomologie en dimension moitié d'un pinceau d'hypersurfaces projectives complexes en termes de classes caractéristiques.

 

En premier lieu, à l'aide de la théorie de Steenbrink et du théorème de Riemann-Roch-Grothendieck, nous exprimons en termes de classes caractéristiques la somme alternée des hauteurs de Griffiths des groupes de cohomologie des fibres d'un pinceau de variétés projectives, avec un espace total non singulier, et dont les fibres singulières sont des diviseurs à croisements normaux. Cette expression nous permet de calculer la même somme alternée des hauteurs de Griffiths associées à un pinceau de variétés projectives, avec un espace total non singulier, et dont les seules singularités des fibres sont des points doubles ordinaires.

 

À l'aide du théorème de Lefschetz faible et des formules ainsi établies, nous exprimons ensuite la hauteur de Griffiths de la cohomologie en dimension moitié d'un pinceau ample d'hypersurfaces dans un pinceau lisse en termes de classes caractéristiques et des hauteurs de Griffiths associées au pinceau lisse ambiant. Cela mène à des formules explicites pour la hauteur de Griffiths de la cohomologie en dimension moitié de pinceaux de variétés projectives dans les cas particuliers suivants : celui des pinceaux d'hypersurfaces dans un fibré en projectifs, et celui des pinceaux linéaires d'hypersurfaces dans une variété projective lisse — dont les pinceaux de Lefschetz sont un exemple.

 

Enfin, en annexe, nous établissons des résultats de transversalité qui montrent que les hypothèses sur les pinceaux d'hypersurfaces pour lesquelles sont établies plusieurs de nos formules pour les hauteurs de Griffiths — admettre un espace total lisse et des fibres singulières à points doubles ordinaires — sont satisfaites de manière générique.