La théorie physique de la relativité générale suggère que notre univers est modélisé par une variété à quatre dimensions munie d’une métrique de signature (−,+,+,+), c'est-à-dire d'une métrique Lorentzienne, qui satisfait les équations d’Einstein. En 1969, Choquet-Bruhat et Geroch ont établi l’existence d’un développement maximal unique à partir d’une donnée initiale donnée pour les équations d’Einstein. Ces solutions s’inscrivent dans le cadre général des espaces-temps globalement hyperboliques. Il existe une relation d’ordre partiel sur ces espaces-temps. Dans le prolongement des travaux de Choquet-Bruhat et Geroch, les questions de l’existence et de l’unicité d’une extension maximale d’un espace-temps globalement hyperbolique se posent naturellement.
Dans cet exposé, je discuterai de ces questions dans le contexte des espaces-temps globalement hyperboliques conformément plats. En 2013, C. Rossi a répondu positivement à ces deux questions dans ce cadre spécifique. Sa démonstration repose sur le lemme de Zorn et ne fournit donc aucune description de l'extension maximale. Je présenterai une démonstration alternative et constructive de ce résultat. Cette approche repose sur le concept d’espace enveloppant, dans lequel l'extension maximale sera réalisée. Après avoir défini l’espace enveloppant, j’illustrerai ce concept par quelques exemples.