On s'intéresse à la répartition asymptotique des orbites d'un système dynamique. On présentera le résultat suivant, concernant les dynamiques en dimension 1 :

Soit f une transformation de l'intervalle ou du cercle de classe C^r, avec r > 1.
Alors Lebesgue-presque tout point possédant un exposant de Lyapunov supérieur à (log || f' ||_infini)/r est dans le bassin d'une mesure ergodique hyperbolique et absolument continue par rapport à la mesure de Lebesgue.

Pour obtenir ce résultat, dans un premier temps, on construit une mesure candidate. Puis, on dispose d'une caractérisation entropique des mesures hyperboliques absolument continues : ce sont les mesures hyperboliques dont l'entropie vérifie la formule de Pesin. On verra alors comment estimer l'entropie d'une telle mesure.