Après une introduction historique, j'expliquerai comment tirer une surface hyperbolique aléatoire (uniforme) de genre g. On se penchera ensuite sur le spectre de longueurs. Plus précisément, on regardera les géodésiques fermées courtes sur une surface hyperbolique aléatoire de genre g. Il se trouve que, lorsque g est grand, les longueurs de ces géodésiques se distribuent exactement de la même manière que les longueurs des cycles courts dans un graphe aléatoire de très grande taille. Il s'agit d'un travail en commun avec Simon Barazer et Alessandro Giacchetto.