Résumé : 

Tannaka et Krein ont établi indépendamment autour de 1940 des résultats de dualité en analyse harmonique abstraite: La donnée des représentations unitaires d'un groupe compact permet de le reconstruire totalement. On peut voir ces résultats comme un analogue de la dualité de Pontryagin--van Kampen pour les groupes abéliens localement compacts. Les groupes polonais Roelcke-précompact, issus de la logique, sont une surclasse des groupes compacts qui gardent de nombreuses propriétés dynamiques et géométriques de cette dernière. En particulier, dans le cas non-archimédiens, leur représentations unitaire ont été complètement classifiées sous une forme très proche du théorème de Peter-Weyl. Après avoir donné une introduction sur les groupes polonais Roelcke-précompact non-archimédiens, j'expliquerai comment étendre les dualités de Tannaka et Krein à ce contexte. On obtient au passage deux réalisations de la compactification de Hilbert d'un tel groupe.