En toute dimension on peut paver l'espace euclidien en réfléchissant un polyèdre compact par rapport à ses faces (par exemple un cube), et on sait bien classifier de tels pavages, ou de manières équivalentes leurs domaines fondamentaux qui sont appelés polyèdres de Coxeter.

Pour les espaces hyperboliques la situation est très différente : d'après un résultat de Vinberg il n'existe pas de polyèdre de Coxeter en dimensions d > 29. En petites dimensions (jusqu'à 8 à présent) de nombreux exemples ont été construits mais (sauf pour les très petites combinatoires) aucun schéma de classification n'est encore apparu pour d >= 4.

Dans cet exposé je vais présenter deux travaux touchant à ces problèmes : l'un en commun avec Nikolay Bogachev et Sami Douba (https://arxiv.org/abs/2309.07691) où nous montrons l'existence d'une infinité de classes de commensurabilité parmi les groupes de réflexion cocompacts (en utilisant une construction de Bugaenko). L'autre (https://arxiv.org/abs/2209.03002) où j'étudie les limites locales de polyèdres de Coxeter, ce qui permet en particulier de retrouver les résultats de finitude sous contraintes arithmétiques.

Café culturel à 13h05 par Frédéric Haglund.