Étant donné une variété symplectique, un invariant important est son groupe de difféotopie symplectique, qui généralise le groupe de difféotopie des surfaces, invariant classique très étudié. En dimension plus élevée, nous en savons assez peu sur ces groupes ; une question naturelle est de comprendre à quel point les propriétés structurelles des groupes classiques se généralisent (ou pas). Nous présenterons une sélection biaisée de résultats autour de cette question. En partie à base de travaux joints avec Paul Hacking et Ivan Smith.