GdT TESD Orsay, année 2022-23

Octobre 2022

"Collapsed Anosov flows"

Résumé: Les flots d'Anosov dans les 3-variétés sont une classe riche de systèmes dynamiques et l'étude de sa topologie est encore un sujet mal compris. L'idée de cet exposé est de présenter une classe de systèmes partiellement hyperboliques qui sont modelés sur les flots d'Anosov, et pour lesquels on peut utiliser des idées issues de la théorie des flots d'Anosov pour obtenir l'information dynamique et ergodique.
Travail en commun avec T.Barthelme, S.Fenley et S.Frankel.

10 et 17 octobre: relâche

24 et 31 octobre: férié

Novembre 2022

"Jack Aranda & the Substreetutions"

Résumé: il s'agit d'un travail en commun avec Alexandre Baraviera de Porto Alegre. Nous introduisons une notion de substitution sur les arbres binaires coloriés, appelée substreetution.
Nous étudions un exemple particulier et montrons que la substreetution admet un unique point fixe, appelé Jacaranda (flamboyant bleu). Cet arbre génère un compact minimal non périodique sous l'action du semi-groupe libre F_2^+.
Il s'agit d'un équivalent pour les arbres coloriés des compacts invariants quasi-périodiques générés par exemple par les substitutions de Thue-Morse ou de Fibonacci sur l'alphabet à 2 lettres.
J'expliquerai dans l'exposé que les motivations de ce travail sont essentiellement liées à des questions de théorie ergodique, en particulier l'étude de transitions de phase.

14 novembre: relâche

21 novembre: Jérôme Carrand (LPSM, Paris 6)

"GIET lisses avec intervalles errants à partir de dérivés de pseudo-Anosov"

Résumé: Les échanges d'intervalles généralisés (GIET) peuvent être vus comme une généralisation des homéomorphismes du cercle. Grâce à un analogue du nombre de rotation, ces applications sont semi-conjuguées à des IET (analogues des rotations). Contrairement au cas sur le cercle, il n'y a pas de lien entre la régularité du GIET et l'inversibilité de la fonction donnant la semi-conjugaison. Dans cet exposé, nous présenterons une méthode pour construire un GIET uniquement ergodique avec des intervalles errants et semi-conjugué à un IET auto-similaire. Cette construction géométrique fait intervenir un dérivé de pseudo-Anosov, ainsi que le flot paramétrant ses variétés stables. Cette méthode permet aussi de construire des exemples de Denjoy.

28 novembre: Jonguk Yang (Université de Zürich)

"A priori bounds for unimodal diffeomorphisms in dimension two"

Abstract: One of the most fundamental examples of non-linear dynamics is given by the class of unimodal interval maps. It is the simplest setting in which one can study the behavior of a critical orbit and the profound impact it has on the geometry of the system. By the works of Sullivan, McMullen and Lyubich, we have a complete renormalization theory for these maps, and as a result, their dynamics is now very well understood.
In this talk, we discuss the extension of this theory to a higher dimensional setting -- namely, to properly dissipative diffeomorphisms in dimension two. Using the notion of non-uniform partial hyperbolicity, we identify what it means for such maps to be "unimodal". Then we show that properly dissipative infinitely renormalizable unimodal diffeomorphisms have a priori bounds (a certain uniform control on their geometry that holds at arbitrarily small scales).
This is based on a joint work with S.Crovisier, M.Lyubich and E.Pujals.

Décembre 2022

"Pseudo-rotations analytiques"

Résumé: Dans cet exposé nous montrerons l'existence de difféomorphismes analytiques et conservatifs du cylindre sans points périodiques et non-conjugués à une rotation. Nous construisons de tels exemples ergodiques ou au contraire avec une émergence maximale. Cela contredit la conjecture de rigidité de Birkhoff (1941).

12 décembre: Nicolae Mihalache-Ciurdea (Créteil)

"Dynamique des applications irrégulières de l'intervalle: le cas des fonctions de Bruneau"

Résumé: Je présenterai un travail en collaboration avec Benoît Kloeckner sur l'itération des applications continues de l'intervalle. Plus précisément, nous regardons le cas des applications zig-zag de Bruneau, Hölder-continues et d'entropie topologique infinie. Nous montrons qu'elles contiennent des fers à cheval de tout ordre.
Nous considérons la dimension moyenne métrique introduite par Lindenstrauss et Weiss. Relativement à la métrique euclidienne, elle est non nulle pour les applications zig-zag hypersensitives. Nous montrons que la dimension moyenne métrique absolue de toute dynamique continue de l'intervalle est nulle, un cas très particulier d'une conjecture de Lindenstrauss.

19 et 26 décembre: férié

Janvier 2023

9, 16, 23, 30 janvier: relâche

Février 2023

13 février: Yonatan Gutman (IMPAN, Varsovie)

"On the Schroer-Sauer-Ott-Yorke predictability conjecture for time-delay embeddings"

Abstract: Schroer, Sauer, Ott and Yorke conjectured in 1998 that the Takens Delay Embedding Theorem can be improved in a probabilistic context. More precisely, their conjecture states that if mu is a natural measure for a smooth diffeomorphism of a Riemannian manifold and k is greater than the information dimension of mu, then k time-delayed measurements of a one-dimensional observable are generically sufficient for a predictable reconstruction of mu-almost every initial point of the original system. This reduces by half the number of required measurements, compared to the standard (deterministic) setup. We prove the conjecture for ergodic measures and show that it holds for a generic smooth diffeomorphism if the information dimension is replaced by the Hausdorff one. To this aim, we prove a general version of predictable embedding theorem for injective Lipschitz maps on compact sets and arbitrary Borel probability measures. We also construct an example of a smooth diffeomorphism with a natural measure, for which the conjecture does not hold in its original formulation. Joint work with Krzysztof Baranski and Adam Spiewak.

20 et 27 février: férié

Mars 2023

"Comportement asymptotique des espaces-temps spatialement homogènes"

Résumé: En Relativité Générale, la métrique sur l'espace-temps est solution d'une EDP géométrique, l'équation d'Einstein. Les espaces-temps spatialement homogènes sont des modèles d'univers, pour lesquels l'équation d'Einstein se réduit à un système d'équations différentielles (=un champ de vecteurs) sur une variété de dimension finie. Je présenterai ce champ de vecteurs, puis expliquerai comment l'étudier. Nous verrons que sa dynamique est étonnamment riche et complexe. Notamment, beaucoup d'orbites ont un mauvais comportement statistique (non-convergence des moyennes de Birkhoff), ce qu'on peut traduire en termes de comportement de la courbure des espaces-temps quand on s'approche de leur singularité initiale. Une partie des résultats est issue de la thèse de Tom Dutilleul.

13 mars: exposé annulé

20 mars: Sara Brofferio (Créteil)

"Unicité de la mesure stationnaire pour des systèmes dynamiques stochastiques sur la droite"

Résumé: Je présenterai les résultats d'un travail en collaboration avec D.Buraczewski et T.Szarek, sur les systèmes dynamiques stochastiques définis par l'action sur la droite d'homéomorphismes aléatoires. Nous prouvons que, pour tout système recurrent, une mesure ergodique est essentiellement déterminée par son support et en déduisons des conditions (relativement optimales) qui garantissent que le système admet une unique mesure de Radon stationnaire sur R. Ce problème a déjà été étudié par Choquet et Deny (1960) dans le cadre de marches aléatoires générées par des translations de la droite et est assez bien compris pour des systèmes fortement contractants. Notre travail peut être considéré comme une suite aux articles de Babillot et al. (1997) et Deroin et al. (2013).

27 mars: relâche

Avril 2023

10 avril: férié

17 avril: relâche

24 avril: férié

Mai 2023

15 mai: Faustin Adiceam (Créteil)

"Sur le problème de la construction des forêts denses"

Résumé: Un ensemble de points (de densité finie) est une forêt dense s'il est uniformément proche de tout segment de droite de longueur suffisamment grande. Le degré de densité d'une forêt dense est quantifié par une fonction dite de visibilité.
Ce concept récemment introduit intervient en relation avec le problème de Danzer en géométrie convexe (1965), lequel demande de prouver l'existence d'un ensemble de points de densité finie intersectant tout corps convexe de volume unité.
Après avoir détaillé la correspondance qui unit ces deux problèmes, l'exposé s'intéressera à la construction effective de forêts denses. Obtenir des bornes de visibilité optimales dans de telles constructions repose sur l'étude des propriétés de répartition uniforme de flots discrets dans le tore dans le contexte de l'algèbre multilinéaire.

22 mai: Jacques Féjoz (Ceremade, Paris-Dauphine)

"Sur la méthode des paramètres en théorie KAM"

Résumé: Le théorème de Kolmogorov en dynamique hamiltonienne comporte deux hypothèses: une hypothèse arithmétique sur la fréquence et une hypothèse de transversalité sur la torsion. La "méthode des paramètres" (due notamment à Poincaré au niveau formel, à Arnold pour les difféomorphismes du tore, et à Herman en général) permet de découpler l'usage des deux hypothèses du théorème; de ramener la démonstration, modulo un espace de paramètres de dimension finie, à l'application d'un théorème d'inversion locale; et d'affaiblir la condition de transversalité.

29 mai: férié

Juin 2023

12 juin: Damien Thomine (Orsay)

"Espaces de Banach de distributions anisotropes en dynamique"

Résumé: Les méthodes spectrales sont un ensemble d'outils particulièrement puissants pour comprendre les systèmes dynamiques hyperboliques. Si ces méthodes se sont longtemps cantonnées à l'étude de systèmes dilatants (transformations dilatantes du cercle, dilatantes par morceaux, flots de suspension au-dessus de tels systèmes...) ou symboliques (sous-décalages), l'introduction d'espaces de distributions bien choisis les a étendues à de nombreux systèmes inversibles. Par exemple, cela a permis une étude directe des propriétés des transformations Anosov ou billard, sans avoir à construire de codage de ces dynamiques.
Cet exposé sera une introduction à ces espaces et leurs applications.

19 juin: exposé annulé

26 juin: Samuel Lelièvre (Orsay)

"Bas du spectre de Lagrange d'une surface à petits carreaux"

Résumé: La constante de Lagrange L(x) d'un irrationnel x est un réel positif qui mesure la qualité d'approximation de x par des rationnels. Si on préfère, c'est une mesure de la "vitesse" à laquelle les directions de vecteurs entiers approchent la direction d'une droite de pente x.
Le spectre de Lagrange est l'ensemble des constantes de Lagrange des irrationnels.
Comme les vecteurs entiers correspondent aux géodésiques fermées du tore R^2 / Z^2, une variante consiste à approcher la direction d'une droite de pente x par les directions des vecteurs associés aux géodésiques fermées sur une surface de translation.
Cette variante des constantes de Lagrange et du spectre de Lagrange a été introduite par Pascal Hubert, Luca Marchese et Corinna Ulcigrai.
Ces trois auteurs et moi-même avons étudié le bas de ce spectre pour deux exemples de surfaces à petits carreaux. Nos résultats, parus en 2018, ont ensuite été étendus par Carlos Matheus.
Cet exposé présentera quelques aspects de ces travaux.