| 11h15 - 12h15 | San Vu Ngoc (Rennes) | Théorie
spectrale et symplectique des systèmes semi-toriques Résumé: Motivés par l'étude spectrale des opérateurs à bicaractéristiques périodiques, nous avons introduit la notion de système intégrable semi-torique. Ce sont des systèmes hamiltoniens intégrables à 2 degrés de liberté possédant une symétrie circulaire. Nous posons la question spectrale inverse: le spectre semi-classique détermine-t-il le système ? Une première étape a été résolue récemment: la classification symplectique des systèmes semi-toriques. Je présenterai ce résultat et quelques conjectures. C'est un travail en commun avec Alvaro Pelayo (Berkeley). |
| Déjeuner | ||
| 14h - 15h | Laurent Thomann (Nantes) | KAM pour
Schrödinger avec potentiel harmonique. Résumé: On établit un théorème abstrait de type KAM pour des systèmes Hamiltoniens de dimension infinie, qui étend des résultats antérieurs de Kuksin et Pöschel. Notre résultat s'applique à l'équation de Schrödinger non linéaire avec potentiel harmonique, et permet de montrer l'existence de "beaucoup" de solutions presque périodiques. Ce travail est en collaboration avec Benoît Grébert |
| 15h15 - 16h15 | Jérémy Faupin (Bordeaux) | Analyse
spectrale du modèle de l'électron habillé en QED non
relativiste Résumé: On considère un électron libre en interaction avec le champ éléctromagnétique quantifié dans le modèle standard de l'électrodynamique quantique non relativiste. Le système étant invariant par translation, on vérifie que le Hamiltonien de Pauli- Fierz associé admet une décomposition en intégrale directe par rapport à l'impulsion totale (impulsion de l'électron + impulsion des photons). On étudie alors le spectre du Hamiltonien réduit, c'est-à- dire le Hamiltonien obtenu en fixant l'impulsion totale. Après avoir rappelé des résultats concernant l'existence d'états fondamentaux dans ce contexte, on montrera comment obtenir un principe d'absorption limite dans un intervalle compact quelconque au dessus de l'énergie fondamentale. On en déduira, en particulier, que pour une impulsion totale fixée non nulle (et suffisamment petite), le spectre du Hamiltonien réduit est purement absolument continu. Cet exposé est basé sur un travail en collaboration avec T. Chen, J. Fröhlich et I.M. Sigal. |
| 11h15 - 12h15 | Zied Ammari (Rennes 1) | Mesures de
Wigner et problèmes de champ moyen Résumé: Dans cet exposé nous exposons quelques résultats obtenus en collaboration avec Francis Nier sur les mesures de Wigner en dimension infinie et leur utilité dans les problèmes de champ moyen. Particulièrement, on montre la propagation de ces mesures décrivant la dynamique de Schrödinger dans la limite de champ moyen. Nous généralisons ainsi à la dimension infinie un résultat standard d'analyse semiclassique, qui permet d'obtenir l'équation de Hartree non linéaire à partir de la mécanique quantique des systèmes à grand nombre de particules. |
| Déjeuner | ||
| 14h - 15h | Armen Shirikyan (Cergy) | Contrôlabilit�
d'EDP, ε-entropie de Kolmogorov et comportement asymptotique des
valeurs
propres Résumé: On étudie le probl�me de contrôlabilité d'EDP par une force de dimension finie. Après une revue de certains résultats récents, on démontre une propriété de non contrôlabilité pour les équations d'Euler sur un tore 2D. Notre approche est basée sur la comparaison de la ε-entropie de Kolmogorov pour le domaine d'accessibilité de l'équation en question avec celle de l'espace de contrôles. On discutera ensuite une application possible des résultats de non contrôlabilité pour l'équation de Schrödinger au problème du développement asymptotique pour les valeurs propres du laplacien. |
| 15h15 - 16h15 | Vincent Bruneau (Bordeaux 1) | Nombre (fini ou
infini) de valeurs propres pour des perturbations d'un
hamiltonien quantique magn�tique Résumé: Nous considérons un opérateur de Schrödinger magnétique en dimension 2 avec un potentiel électrique de type "marche". Nous perturbons cet opérateur, qui a un spectre de bande, par un potentiel électrique à support compact. Nous étudions alors le nombre de valeurs propres de cet opérateur perturbé près des bandes. Suivant la position relative du support de la perturbation par rapport à la marche, nous montrons que ce nombre est fini ou infini. Il s'agit d'un travail en collaboration avec P. Miranda et G. Raikov. |
| 11h15 - 12h15 | Francis Nier (Rennes 1) | Une approche
alternative de l'évolution adiabatique des résonances de
forme 1D Résumé: Après un résumé des enjeux dans la modélisation des diodes à effet tunnel résonnant, j'introduirai un opérateur de Schrödinger modifié qui conduit à une bonne théorie de l'évolution adiabatique des états résonnants. C'est une étape importante vers la dérivation d'une théorie de la dynamique quantique non-linéaire hors-équilibre, de type Landauer-Büttiker dynamique, qui conduit à des modèles réduits efficaces comme cela a déjà été fait dans des travaux précédents sur le cas stationnaire avec V. Bonnaillie et Y. Patel. La modification du Hamiltonien de Schrödinger qui est basée sur des conditions d'interface ponctuelles (qui peuvent être vues comme des conditions aux limites artificielles bifaces) a le mérite de peu perturber toutes les quantités impliquées dans le problème stationnaire, y compris celles, exponentiellement petites, liées à l'effet tunnel. Cette analyse met en jeu une approche de la mécanique quantique dans l'espace des phases, une faible régularité en vue de la semilinéarité, des quantités exponentiellement petites avec détermination des préfacteurs, et des opérateurs non auto-adjoints. Il s'agit d'un travail commun avec Ali Faraj et Andrea Mantile. |
| Déjeuner | ||
| 14h - 15h | Asya Metelkina (Hagen) | L'exposant de
Lyapounov pour les perturbations à oscillation
lente des équations de Schrödinger périodiques Résumé: Dans cet exposé je présente le calcul de l'exposant de Lyapounov pour les perturbations à oscillation lente des opérateurs de Schrödinger périodiques en dimension 1. L'exemple typique est donné par |
| 15h15 - 16h15 | Serge Richard (Lyon 1 et Cambridge) | Sur le théorème
de Levinson topologique Résumé: Durant ce séminaire, nous commencerons par rappeler les objets principaux de la théorie de la diffusion. Nous énoncerons ensuite une version du théorème de Levinson apparaissant dans la littérature et discuterons sa signification. Ce théorème établit une égalité entre une expression en termes de l'opérateur de diffusion |
| 11h15 - 12h15 | Mathieu Lewin (Cergy) | Systèmes de
bosons en rotation très rapide: l'effet Hall quantique
fractionnaire Résumé: Dans cet exposé je présenterai un modèle pour un système de N bosons en rotation très rapide autour d'un axe, et soumis à un potentiel de piégeage de type harmonique. Après avoir rappelé les résultats existants concernant la limite de Gross-Pitaevskii (à rotation fixe), je montrerai que, lorsque la rotation est très rapide, le système devient extrêmement corrélé et il apparaît un phénomène de type effet Hall quantique fractionnaire. En particulier, je montrerai que, dans un certain régime, le système est décrit par la célèbre fonction d'onde de Laughlin. Il s'agit du premier travail rigoureux sur l'effet hall quantique fractionnaire pour des systèmes bosoniques. C'est un travail en collaboration avec Robert Seiringer (Princeton). |
| Déjeuner | ||
| 14h - 15h | Jan Derezinski (Varsovie) | Excitation
spectrum of the Bose gas and superfluidity Abstract: It is well known that a Bose gas at very low temperature exhibits a superfluid behavior. According to the (appropriately interpreted) physics literature this is related to a special form of the joint energy momentum spectrum of the homogeneous Bose gas. This suggests certain interesting conjectures about spectral properties of its Hamiltonian, unfortunately very difficult to prove rigorously. In my talk I will review some heuristic (and sometimes rigorous) arguments that can be found in the literature concerning the excitation spectrum of the Bose gas. |
| 15h15 - 16h15 | Etienne Sandier (Créteil) | Gamma
convergence avec changement d'échelle et réseau d'Abrikosov Résumé: Dans un travail en cours avec S.Serfaty, nous faisons le lien entre la fonctionnelle de Ginzburg-Landau en supraconductivité et une énergie définie sur les configurations de points dans le plan, en utilisant une forme de Gamma convergence avec changement d'échelle. Nous savons minimiser cette énergie parmi les réseaux, le réseau optimal est comme attendu le réseau hexagonal, appelé réseau d'Abrikosov dans le contexte de la supraconductivité. |
| 11h15 - 12h15 | Jean-Philippe Nicolas (Brest) | Les principes du
scattering conforme Résumé: La compactification conforme de Penrose est un outil géométrique permettant l'étude du comportement asymptotique le long de courbes caractéristiques de solutions d'équations d'onde covariantes (c'est-à-dire des équations hyperboliques tirant leur structure de la métrique) et conformément invariantes. On peut donc penser que des applications à la téorie du scattering dépendante du temps pour de telles équations sont naturelles. Dans le cas de l'espace-temps plat, Friedlander puis Baez, Segal et Zhou ont développé des constructions conformes de scattering pour diverses équations. Dans un travail en collaboration avec Lionel Mason, nous construisons par des méthodes conformes des théories de scattering sur des espaces-temps dont la dépendance en temps n'est spécifiée que de façon asymptotique. Cet exposé présentera le cadre géométrique ainsi que les étapes et idées essentielles de la construction. |
| Déjeuner | ||
| 14h - 15h | Nabile Boussaid (Besançon) | Un critère de
type Weyl pour la pollution spectrale Résumé: Soit A un opérateur autoadjoint agissant sur un espace de Hilbert H de domaine D(A). Si B est relativement compact par rapport � A, nous savons, par le théorème de Weyl, les spectres essentiels de A et A + B coïncident. Soit S = (L_n ) une suite croissante de sous espace de dimension finie de D(A) de réunion dense dans D(A) pour la norme du graphe. Notons A_n la compression de A à L_n. Le spectre de A est un sous ensemble des valeurs d'adhérences des spectres des A_n. Mais l'inclusion peut être stricte, la différence est ce que l'on appelle la pollution spectrale produite par S. Nous montrons que la pollution spectrale a des propriétés de stabilité très similaires à celles du spectre essentiel. En particulier nous étudions les conditions que l'on peut imposer à un opérateur B, en termes de compacité, pour que les pollutions spectrales de A et A+B produites par S soient identiques. |
| 15h15 - 16h15 | Gabriel Lemarié (Saclay) | Observation
expérimentale de la transition d'Anderson avec des ondes de matière
atomiques. Résumé: En dimension trois, les états propres d'une particule quantique soumise à un potentiel désordonné présentent une transition, appelée transition d'Anderson, entre un régime délocalisé à faible désordre et un régime localisé à fort désordre. Cette localisation étant due aux interférences, elle est facilement perturbée par des effets de décohérence ou d'interaction entre particules, et est donc délicate à observer. Nous rapportons la première observation expérimentale de la transition d'Anderson avec des ondes de matière atomiques. Un nuage d'atomes froids soumis à une onde stationnaire pulsée de façon quasi-périodique réalise une variante du rotateur pulsé (paradigme du chaos quantique) analogue à un modèle d'Anderson de système désordonné 3D. Cependant, la limite thermodynamique n'est pas accessible expérimentalement. Interprétant ces contraintes comme similaires à des effets de taille finie, nous construisons une méthode de ``finite-time scaling'' permettant de caractériser la transition expérimentalement, de donner la première détermination expérimentale non-ambigüe de l'exposant critique de la transition, et de confirmer que le rotateur pulsé quasi-périodique appartient à la même classe d'universalité que le modèle d'Anderson. Ce travail est issu d'une collaboration d'un groupe de théoriciens du LKB (G. Lemarié, B. Grémaud, D. Delande) et d'un groupe d'expérimentateurs du laboratoire PHLAM à Lille (J. Chabé, H. Lignier, P. Szriftgiser et J. C. Garreau). |
| 11h15 - 12h15 | Valeria Banica (Évry) | Scattering pour
une équation de Schrödinger cubique 1-D et dynamiques
de
vortex singulières Résumé: On s'intéresse à la stabilité des solutions autosimilaires du flot binormal. Le flot binormal est une équation d'évolution en temps de courbes de R3, qui modélise la dynamique des vortex filamentaires dans les fluides et super-fluides. Les solutions autosimilaires ont la particularité d'engendrer une singularité en temps fini. On construit des petites perturbations de ces solutions, et on montre qu'elles développent aussi une singularité en temps fini. Notre approche utilise la transformation de Hasimoto qui nous mène a l'étude du comportement à grand temps d'une équation de Schrödinger cubique 1-D avec coefficients dépendant du temps. On montre la complétude asymptotique d'abord pour l'équation linéaire, et ensuite pour la nonlinéaire. Ceci est un travail en collaboration avec Luis Vega. |
| Déjeuner | ||
| 14h - 15h | Hakim Boumaza (Paris 13) | Localisation
pour un modèle d'Anderson à valeurs matricielles Résumé: Je présenterai une démarche pour obtenir la localisation d'Anderson pour un opérateur de Schrödinger aléatoire continu à valeurs matricielles H. La localisation d'Anderson signifie que le spectre de H est purement ponctuel et que les fonctions propres associées sont exponentiellement décroissantes à l'infini. J'appliquerai ensuite le résultat général à un exemple particulier d'opérateur de Schrödinger à valeurs matricielles en construisant en détail un intervalle de localisation pour cet exemple. |
| 15h15 - 16h15 | Françoise Truc (Grenoble) | Asymptotiques du
spectre pour des laplaciens magnétiques en géométrie
hyperbolique Résumé: We give the asymptotic behaviour of the counting function of eigenvalues for a magnetic Laplacian in the hyperbolic context, in various situations. In the so-called magnetic bottle case, that is when the magnetic field tends to infinity at infinity and the spectrum is discrete, we show that this behaviour is not the usual one; we consider for example the Poincaré half-plane and a hyperbolic surface with infinite area. In the case of a constant magnetic field on a hyperbolic surface with finite area, the spectrum is discrete: we prove that the counting function satisfies the classical Weyl formula; this is a new Aharanov-Bohm phenomenon when the field associated to the magnetic vector potential vanishes. |
| 11h15 - 12h15 | Thierry Jecko (Cergy-Pontoise) | Nouvelle preuve
de l'analyticité de la densité électronique des
molécules. Résumé: On considère la densité associée àune fonction propre électronique d'un hamiltonien moléculaire avec interactions coulombiennes. Il est connu qu'elle est analytique en dehors des positions des noyaux. On redémontre ce résultat en utilisant une astuce due à M. Klein, A. Martinez, R. Seiler et X.P. Wang. La nouvelle preuve s'appuie essentiellement sur des arguments classiques de régularité elliptique. |
| Déjeuner | ||
| 14h - 15h | Fabricio Macia (Madrid) | Semiclassical
measures and the Schrödinger flow Résumé: We study the semiclassical limit for a class of linear Schrödinger equations in an heterogeneous medium (for instance, a Riemannian manifold) at time scales tending to infinity as the characteristic frequencies of the initial data tend to zero. We are interested, in particular, in dealing with time scales larger than the Ehrenfest time. Our analysis is performed by studying the high-frequency limits of Wigner distributions corresponding to solutions to the Schrödinger equation at very long times -- the so-called semiclassical measures. We give a characterization of their structure for some systems arising as the quantization of a completely integrable classical Hamiltonian flow. In particular, we prove that in such systems the propagation laws obeyed by these semiclassical measures might be no longer determined by the classical flow. This is due to effects caused by resonances, that have to be studied via a two-microlocal object, the resonant Wigner distribution. |
| 15h15 - 16h15 | Luc Miller (Paris 10) | Minoration des
sommes de fonctions propres semiclassiques Résumé: On considère un opérateur de Schrödinger semiclassique avec un puits de potentiel qui se comporte à l'infini comme une puissance de la norme euclidienne. On démontre que la norme L2 sur un borné donné de toute somme normalisée L2 de fonctions propres associées à des valeurs prores inférieures à une énergie donnée est minorée par une exponentielle de -C/h quand le paramètre semiclassique h tend vers 0. La preuve repose sur des estimations de Carleman semiclassiques selon Burq, Lebeau et Robbiano. La motivation est un problème de coût du contrôle de l'équation de la chaleur avec potentiel qui n'est pas semiclassique et pour lequel on démontre aussi l'optimalité par des estimations d'Agmon semiclassiques. http://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00411840/fr/ |