| 11h15 - 12h15 | Jean-Marc Bouclet (Lille) | Calcul
fonctionnel et estimations Lp sur des variétés à
bouts Résumé: Pour une classe de variétés à bouts (ex. asymptotiquement coniques ou hyperboliques), on donnera des estimations Lp à poids pour les fonctions du Laplacien via un calcul semi-classique. On discutera les applications, notamment aux décompositions de Littlewood-Paley. |
| Déjeuner | ||
| 14h - 15h | Eric Cancès (ENPC) | Structure
électronique de cristaux présentant des défauts locaux Résumé: Les modèles de structure électronique communément utilisés en chimie quantique et en physique du solide (modèles de Hartree-Fock et de Kohn-Sham) donnent lieu à des problèmes variationnels dont les équations d'Euler-Lagrange s'écrivent sous la forme de problèmes spectraux non linéaires. Dans la première partie de mon exposé, je présenterai les modèles de Hartree-Fock réduit et de Kohn-Sham pour un système de N électrons. Dans le cadre de ces modèles, l'état fondamental du système est décrit par le projecteur orthogonal sur l'espace engendré par les vecteurs propres de plus basse énergie d'un certain opérateur de Schrödinger non linéaire. Nous étudierons ensuite la limite thermodynamique du modèle de Hartree-Fock réduit obtenue en faisant tendre la distribution des noyaux atomiques vers un réseau périodique et le nombre d'électrons vers l'infini (cristal parfait). Nous verrons enfin ce qu'il advient lorsque la distribution des noyaux atomiques converge vers un cristal présentant des défauts locaux (lacunes, impuretés, atomes interstitiels, ...). |
| 15h30 - 16h30 | George Hagedorn (Virginia Tech) | The
Time-Independent Born-Oppenheimer Theory of Molecular
Quantum Mechanics and Modifications for Hydrogen Bonding Résumé: I shall begin with a review of mathematical results concerning the standard time-independent Born-Oppenheimer approximation. I shall then discuss modifications that are specifically designed to describe vibrational motions of molecules that contain symmetric or non-symmetric hydrogen bonds. The modified approximations are those proposed in recent joint work with Alain Joye. |
| 11h15 - 12h15 | André Martinez (Bologne) | Résonances pour
potentiels non analytiques (collab. avec T. Ramond et J. Sjöstrand) Résumé: On considère des opérateurs de Schrödinger semiclassiques dont le potentiel est C-infini et décroît polynomialement à l'infini. En particulier, pour de tels opérateurs, les définitions usuelles de résonances ne s'appliquent pas. Sous certaines conditions, on parvient quand-même à définir ici une notion de résonances, dont la particularité est que celles-ci sont déteminées de manière invariante modulo une puissance quelconque de leur partie imaginaire. La méthode est basée sur des estimations de résolvante pour les és de certains opérateurs à potentiel holomorphe dans des secteurs complexes de plus en plus étroits. |
| Déjeuner | ||
| 14h - 15h | Isabelle Catto (Dauphine) | Analyse
mathématique des équations de Hartree-Fock multiconfiguration dépendant
du temps Résumé: Les méthodes de multi-configurations généralisent des modèles d'approximation bien connus de l'équation de Schrödinger pour les systèmes moléculaires sous interaction Coulombienne, comme le modèle de Hartree-Fock. Elles consistent à approcher les fonctions d'onde antisymétriques d'un espace de Hilbert de dimension infinie par une combinaison linéaire (dépendant du temps) de déterminants de Slater. Les équations de Hartree-Fock multiconfiguration dépendant du temps (MCTDHF) qui en résultent s'écrivent alors sous la forme d'un système qui couple des EDO pour décrire l'évolution des coefficients et des EDP mono-électroniques de type Schrödinger non-linéaires. Nous établissons que le problème de Cauchy est localement bien posé, ceci tant que la matrice densité associée reste de rang constant, puis nous donnons une condition suffisante sur les conditions initiales qui assure l'existence globale en temps. Il s'agit du premier résultat d'existence globale pour ce type déquation. |
| 15h30 - 16h30 | Jean-François Bony (Bordeaux) | Mesures limites
pour l'équation de Helmholtz dans le cas non-captif Résumé: Nous étudions les mesures limites associées à la solution de l'équation de Helmholtz avec un terme source se concentrant en un point. Le potentiel est supposé régulier et l'opérateur non-captif. La solution de l'équation de Schrödinger semi-classique s'écrit alors micro-localement comme somme finie de distributions lagrangiennes. Sous une hypothèse géométrique, qui généralise l'hypothèse du viriel, on en déduit que la mesure limite existe et qu'elle vérifie des propriétés standard. Enfin, on donne un exemple d'opérateur qui ne vérifie pas l'hypothèse géométrique et pour lequel la mesure limite n'est pas unique. |
| 11h15 - 12h15 | Oleksiy Khorunzhiy (Versailles) | Sur les
cumulants et le diagrammes connexes de certains modèles matriciels
discrets de type Erdös-Rényi Résumé: Nous étudions le comportement asymptotique de la somme matricielle Zn,p,β=1/pn2 logE(egnQ), avec Q=Tr(Δ4), où Δ est l'opérateur de Laplace sur un graphe aléatoire à n sommets, portant un poids de probabilité proportionnel à exp(-βTrΔ2). Ce poids engendre l'ensemble d'Erdös-Rényi des graphes aléatoires. Dans cet ensemble les arêtes sont décrites par des variables aléatoires indépendantes de Bernoulli, qui prennent la valeur 1 avec la probabilité p=O(e-2β). En utilisant la technique des diagrammes connexes, nous démontrons que dans les trois régimes asymptotiques p=O(1), 1/n <<p<<1 et p = O(1/n), les trois limites formelles de Zn,p,β existent. Nous donnons les expressions explicites pour certains termes de ces limites, qui sont déterminés par l'équation de Lagrange-Pólya ou ses généralisations. Ces résultats impliquent le Théorème Central Limite pour les moments des mesures spectrales des matrices d'adjacence de ces graphes. |
| Déjeuner | ||
| 14h - 15h | Thierry Ramond (Orsay) | Résolvante et
Matrice de Diffusion au sommet du potentiel Résumé: On décrit la structure microlocale de la résolvante et de la matrice de diffusion d'opérateurs de Schrödinger semiclassiques à courte portée, dans le cas où le potentiel possède un unique maximum global non-dégénéré. Sur la surface d'énergie critique, le champ hamiltonien possède alors un unique point fixe, qui est hyperbolique. On montre que, pour des énergies proches de la valeur critique, la résolvante et la matrice de diffusion sont des opérateurs intégraux de Fourier semiclassiques. Près des trajectoires captées, leur relation canonique est le produit des variétés stables entrantes et sortantes du point fixe. L'ordre de ces opérateurs est explicitement donné par la géométrie de la barrière de potentiel. Ces résultats ont été obtenus en collaboration avec Ivana Alexandrova et Jean-François Bony. |
| 15h30 - 16h30 | Raphaël Krikorian (Paris 6) | Théorie
KAM-Liouville et Théorème de type Dinaburg-Sinai sans conditions
diophantiennes sur les fréquences Résumé: Nous démontrons qu'un cocycle quasi-périodique analytique à valeurs dans SL(2,R), de fréquence irrationnelle dans la base (mais pas nécessairement diophantienne) et suffisamment proche d'un cocycle constant, est conjugué à un cocyle de rotations, pourvu que son nombre de rotation fibré satisfasse une condition diophantienne par rapport à la fréquence. Nous développons pour cela une nouvelle technique que l'on peut interpréter comme une théorie KAM dans un cadre Liouvillien. Ceci est un travail en commun avec A. Avila et B. Fayad |
| 11h15 - 12h15 | Vesselin Petkov (Bordeaux) | Résonances
paramétriques pour l'équation des ondes avec un potentiel positif et
périodique en temps (collab. avec F.Colombini et J.Rauch) Résumé: On considère le problème de Cauchy pour l'équation des ondes avec un potentiel V(t,x) lisse, périodique de période T>0, et positif pour |x| assez grand. On se propose de construire une famille de potentiels Vε pour lesquels les propagateurs Uε(T,0) possèdent une valeur propre zε de module supérieur à 1. Cela implique l'existence de solutions pour lesquelles l'énergie locale croît exponentiellement avec le temps, et le problème a des résonances paramétriques λ de modules plus grands que 1. |
| Déjeuner | ||
| 14h00 - 15h00 | Frédéric Hérau (Reims) | Méthodes
microlocales et semiclassiques pour les équations cinétiques
avec un potentiel Résumé: Dans cet exposé on montrera comment des méthodes microlocales et/ou semiclassiques permettent de donner des résultats précis de décroissance sur l'entropie d'un système de particules. On décrira un certain nombre de résultats récents, ainsi que les procédures de linéarisation et quelques concepts qui permettent d'appréhender une large classe d'équations. |
| 15h30 - 16h30 | Alexandre Fedotov (St Petersbourg) | Renormalisation
et existence ponctuelle de l'exposant de Lyapunov pour des équations
quasi-périodiques Résumé: Nous considérons l'équation de Schrödinger discrète, avec le potentiel λv(ωk + θ), où v est périodique. Si ω est irrationnel, cette équation est quasi-périodique. Pour chaque énergie E, la limite γ(E,θ) existe et est indépendante deθ pour presque tout θ; cette valeur γ(E) est l'exposant de Lyapounoff. Supposons cet exposant positif sur une intervalle d'énergie. Alors, pour presque tout θ, le spectre sur cet intervalle est singulier. Pour un θ donné, le spectre singulier continu peut être localisé sur l'ensemble exceptionnel où γ(E,θ) n'existe pas ou est nul. On étudie cet ensemble exceptionnel dans le cas où la constante de couplage λ est grande, et le potentiel v est réel analytique. |
| 11h15 - 12h15 | Nikolai Filonov (St Pétersbourg et King's College London) | Asymptotique du
spectre de l'opérateur de Maxwell sur une variété Lipschitzienne au
bord (collab. avec M. Demchenko) Résumé: En 1912 H. Weyl a décrit le comportement asymptotique des valeurs propres de l'opérateur de Maxwell dans un domaine de R3, en supposant que les coefficients de l'opérateur sont constants et que la frontière du domaine est régulière. En 1987 Birman et Solomyak ont démontré que, dans le cas des domaines à frontière Lipschitzienne, le spectre de l'opérateur de Maxwell satisfait aussi l'asymptotique de Weyl. Le résultat analogue pour l'opérateur dont les coefficients ne sont pas constants n'a été obtenu qu'en 2005. Nous généralisons ces résultats encore plus: on considère l'opérateur de Maxwell sur une variété de dimension arbitraire. |
| Déjeuner | ||
| 14h00 - 15h00 | Vidian Rousse (Freie U. Berlin) | Opérateurs
Intégraux de Fourier à phase complexe et application au propagateur de
Herman-Kluk semiclassique Résumé: J'expliquerai la construction d'OIF à phase complexe associés à une transformation canonique deRdx Rd qui généralise la quantification anti-Wick des opérateurs pseudodifférentiels. Une application immédiate de ces OIF aux équations d'évolution du type Schrödinger sera explicitée, et conduira à la justification mathématique du propagateur de Herman-Kluk largement utilisé par les chimistes. La preuve de ce résultat s'appuie essentiellement sur le fait que les OIF construits sont des opérateurs bornés sur L2(Rd) dans l'esprit du théorème de Calderón-Vaillancourt. |
| 15h30 - 16h30 | Bernd Metzger (Ruhr U. Bochum) | Nonuniform
upper estimates of the density of states in dimension one Résumé: We consider the density of states (DOS) of one-dimensional discrete random Schrödinger operators with a uniformly distributed random potential. The Wegner estimates are uniform estimates of the DOS. They are expected to be inadequate close to the boundary of the spectrum, where Lifshitz behavior should occur. We prove a result interpolating between the Wegner and the Lifshitz regimes. |