| 11h15 - 12h15 | Shu Nakamura (Tokyo) | Singularity of
solutions to Schrödinger equations Résumé: We consider the microlocal singularity of solutions to Schrödinger equation on a manifold with so-called "scattering metric". We prove a characterization of the wave front set using the classical mechanical wave operator. The result is similar to a recent result by Hassell and Wunsch, but the formulation and the proof is quite different. |
| Déjeuner | ||
| 14h00 - 15h00 | Vojkan Jakšic (McGill) | Recent
Developments in Non-Equilibrium Quantum Statistical Mechanics. An
Overview. Résumé: I shall discuss mathematical foundations of non-equilibrium quantum statistical mechanics focusing on a class of recent developments which fall roughly into two categories: (A) Axiomatic results that concern mathematical structure of the theory; (B) Study of concrete physically relevant models; This talk is based on a joint work with Claude-Alain Pillet. |
| 15h30 - 16h30 | Stefan Teufel (Tübingen) | Effective
dynamics for constrained quantum systems Résumé: We consider the Schrödinger equation on a Riemannian manifold with the assumption that the potential localizes finite-energy states close to a certain submanifold. This situation typically occurs in quantum molecular dynamics and for quantum wave guides. Mathematically the limit of strong localization is modeled by scaling the potential like ε-1 in the direction normal to the submanifold for ε<<1. States with bounded energy are effectively confined to an ε-tube around the submanifold by such a potential. We show that the dynamics of such states can be described by an effective Schrödinger equation on the submanifold and derive an asymptotic expansion of the corresponding effective Hamiltonian. This is joint work with Jakob Wachsmuth. |
| 11h15 - 12h15 | Roch Cassanas (Göttingen) | Semi-classical
trace formula for conservative systems Résumé: The celebrated semi-classical trace formula establishes a link between the regularised spectral density of a quantum Hamiltonian and the periodic orbits of the underlying classical system. It is usually stated in the case of isolated periodic orbits, or at the contrary when the flow is periodic on an energy surface. Nevertheless asymptotics also exist under more general assumptions called 'clean flow' condition. Generalising the concept of ND periodic orbits, we will give here some practical conditions to get a clean flow for Hamiltonians with several constants of motion. We also broaden the computations of the first term. As an application we establish rigorously a trace formula due to physicists Berry and Tabor in the case of integrable systems. |
| Déjeuner | ||
| 14h00 - 15h00 | Victor Ivrii (Toronto) | Magnetic
Schrödinger Operator: Geometry, Classical and Quantum Dynamics and
Spectral Asymptotics Résumé: I consider even dimensional Schrödinger operator with the small Planck parameter h and a large coupling parameter μ and discuss connections between the geometry of magnetic field, classical and quantum dynamics of the corresponding movements and the remainder estimate in the spectral asymptotics. |
| 15h30 - 16h30 | Françoise Truc (Grenoble) | Estimations
semi-classiques des valeurs propres d'un opérateur de Schrödinger avec
un potentiel dégénéré Résumé: On considère un opérateur de Schrödinger semi-classique avec un potentiel dégénéré V(x,y) =f(x) g(y). On suppose que g est une fonction positive homogène de m variables, et que f est une fonction strictement positive de n variables, admettant un minimum strict en 0. Ce potentiel est dégénéré au sens que la formule de Weyl peut ne plus être valide. Cependant, si f tend vers l'infini à l' infini, l' opérateur est à résolvante compacte et il est possible de donner le comportement asymptotique semi-classique du nombre de valeurs propres inférieures à une énergie fixée. Dans cet exposé on donne, sans hypothèses sur la limite de f, une estimation précise des petites valeurs propres, en utilisant une approximation de type Born Oppenheimer. Grâce à un raffinement de cette méthode on estime aussi des valeurs propres d'ordre plus élevé. Quand le degré d' homogénéité de g est au moins 2, cet ordre peut être h-2, où h est le paramètre semi-classique. Enfin on peut étendre les résultats précédents à une classe de potentiels dans Rd, d>1, qui s'annulent sur une hypersurface régulière. Ce travail est le fruit d'une collaboration avec Abderemane Morame. |
| 11h15 - 12h15 | Oliver Matte (Munich) | Correlation
asymptotics for non-translation invariant lattice spin systems Résumé: A method to obtain asymptotic expressions for Green kernels of certain non-translation invariant transition operators by means of semiclassical and microlocal analysis is presented. Combined with a result by Bach and Møller this method yields asymptotic formulas for the truncated two-point correlation functions of certain non-translation invariant lattice models of real-valued spins. |
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| 14h00 - 15h00 | Dietrich Häfner (Bordeaux) | Création de
fermions par des trous noirs chargés en rotation Résumé: Cet exposé est consacré � l'étude mathématique de l'effet Hawking pour des fermions dans le cadre de l'effondrement d'une étoile chargée en rotation. Nous montrons qu'un observateur au repos par rapport aux coordonnées de Boyer-Lindquist observe l'émergence d'un état thermal quand son temps propre tend vers l'infini. Nous introduisons d'abord un modèle de l'effondrement de l'étoile. L'équation de Dirac est écrite en utilisant des coordonnées et une tétrade de Newman-Penrose adaptées à l'effondrement. Nous décrivons la quantification de l'équation de Dirac dans un espace-temps globalement hyperbolique. Le théorème sur l'effet Hawking est formulé dans ce cadre. A la fin de l'exposé, nous décrivons la stratégie globale de la preuve. Référence: hal-00120673 |
| 15h30 - 16h30 | Jean-Claude Guillot (Polytechnique) | Atomes et ions
mobiles interagissant avec des photons Résumé: On considère l'hamiltonien associé à des atomes et des ions interagissant avec le champ électromagnétique quantifié.Comme le système est invariant par translation, on considère l'hamiltonien correspondant à de petites valeurs de l'impulsion totale et on étudie l'existence d'un état fondamental pour cet hamiltonien. On situera le résultat dans l'ensemble de la littérature récente sur ce sujet. |
| 11h15 - 12h15 | Jean-Michel Combes (Toulon et CPT Marseille) | Moyennage
spectral, densité d'état et fonction de décalage spectral de Krein Résumé: On présente des résultats récents, obtenus en collaboration avec P.Hislop et F.Klopp, sur des propriétés de régularité optimales pour la densité d'états de familles d'opérateurs de Schrödinger aléatoires. Les techniques utilisées font appel au "Spectral Averaging" concernant des moyennes de densités spectrales pour des opérateurs auto-adjoints dépendant linéairement d'un paramètre. On utilisera par ailleurs la théorie de Birman-Krein pour établir des liens étroits entre la régularité de la densité d'états et des bornes Lp sur la fonction de décalage spectral. |
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| 14h00 - 15h00 | Didier Robert (Nantes) | Supersymétrie
et fantômes Résumé: Depuis plus de 50 ans les physiciens étudient des modèles de théorie quantique des champs pour des lagrangiens contenant des dérivées par rapport au temps d'ordre au moins égal à 2 (Pais-Ulhenbeck, 1950). Les hamiltoniens associés à ces systèmes ne sont pas semi-bornés, y compris en l'absence d'interaction, et produisent donc des états d'énergie négative appelés "fantômes". Dans cet exposé je présenterai des modèles de ce type dans le cadre de la mécanique quantique supersymétrique (système fini de bosons et de fermions) et je discuterai leurs propriétés spectrales. Il s'agit d'un travail en collaboration avec A. Smilga (SUBATECH-Nantes). |
| 15h30 - 16h30 | Yves Colin de Verdière (Grenoble) | La méthode
d'imagerie passive en sismologie Résumé: La fonction de corrélation du bruit sismique enregistré en 2 points A et B de la surface de la terre ressemble au signal obtenu en A si il y a un tremblement de terre en B. C'est la base de la nouvelle méthode en sismologie développée par Michel Campillo (LGIT, Grenoble) et son équipe. J'expliquerai la méthode, et comment les outils semi-classiques semblent pertinents dans sa modélisation. |
| 11h15 - 12h15 | Raphael Tiedra (Orsay) | Généralisation
du temps de retard en théorie de la diffusion Résumé: Durant cet exposé, nous présentons quelques développements récents concernant temps de retard en théorie de la diffusion quantique. |
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| 14h00 - 15h00 | Francis Nier (Rennes) | Diodes à effet
tunnel résonant : Modèle, résultats et perspectives. Résumé: Les diodes à effet tunnel résonant sont des systèmes quantiques qui fonctionnent dans un régime loin de l'équilibre thermodynamique et présentent à la fois une grande richesse du point de vue de la phénoménologie non linéaire que du point de vue des problèmes mathématiques sous-jacents. Après un rappel du cadre fonctionnel et de l'asymptotique pertinente du point de vue des applications, les résultats obtenus avec Y. Patel et V. Bonnaillie seront présentés. L'exposé terminera sur quelques questions mathématiques partiellement élucidées qui sont apparues durant ce travail. |
| 15h30 - 16h30 | Dominique Spehner (Grenoble) | Loi de Mott
pour une marche aléatoire dans un milieu aléatoire Résumé: On considère une marche aléatoire sur le support d'un processus ponctuel stationnaire et ergodique sur R^d, d>1, marqué en chaque point par des énergies indépendantes bornées. Les taux de transition de la marche aléatoire décroissent exponentiellement avec la distance de saut et dépendent des énergies via un facteur de type Boltzmann. Ce modèle est un modèle classique effectif décrivant le tranport par sauts à portées variables dans les solides désordonnés dans le régime de la localisation d'Anderson. On montre que, après le changement d'échelle usuel, la marche aléatoire converge vers un mouvement brownien. De plus, la constante de diffusion a un comportement à basse temperature donné par la loi de Mott pour la conductivité, qui est bien connue en physique des solides. La preuve de ce résultat fait appel à des estimations de la théorie de la percolation. Une borne inférieure sur la constante de diffusion a été établie dans un travail en collaboration avec A. Faggionato et H. Schulz-Baldes. Plus récemment, A. Faggionato et P. Mathieu ont démontré une borne supérieure ayant le même comportement asymptotique à basse température. |
| 11h15 - 12h15 | Konstantin Pankrashkin (Paris 13 et HU Berlin) | Spectral
duality for quantum graphs with magnetic fields Résumé: The talk will be devoted to the analysis of Schrödinger operators on equilateral quantum graphs. The equilateral quantum graphs appear when replacing the edges of a (combinatorial) graph by identical segments. The study of such operators is an essential part of the de Gennes-Alexander model of superconductivity. We show that the spectral problem is essentially equivalent to that for the weighted discrete magnetic Laplacian on the underlying combinatorial graph: the two spectra are connected by a certain real-analytic function. Using this correspondence we provide some spectral results for a class of continuous Schrödinger operators on periodic graphs: the presence of a Cantor spectrum, Bethe-Sommefeld estimates, localized states etc. Related publications: - J. Bruening, V. Geyler, K. Pankrashkin: Cantor and band spectra for periodic quantum graphs with magnetic fields. Commun. Math. Phys., to appear; Preprint arXiv.org:math-ph/0511057 - K. Pankrashkin: Spectra of Schroedinger operators on equilateral quantum graphs. Lett. Math. Phys. 77 (2006) 139-154 - K. Pankrashkin: Localization effects in a periodic quantum graph with magnetic field and spin-orbit interaction, Preprint arXiv.org:math-ph/0607034. |
| Déjeuner | ||
| 14h00 - 15h00 | Vladimir Georgescu (Cergy-Pontoise) | Sur l'analyse
spectrale des hamiltoniens des champs quantiques Résumé: L'exposé sera consacré à une preuve de l'estimation de Mourre pour des champs à masse non nulle. |
| 15h30 - 16h30 | Nalini
Anantharaman (Ecole Polytechnique) |
Limite
semi-classique et théorie d'Aubry-Mather Résumé: On étudie la limite semi-classique pour l'opérateur non auto-adjoint H=|\hbar d/dx+ omega|^2 +V(x) sur une variété riemannienne compacte, où omega est une 1-forme représentant un potentiel magnétique. Autrement dit, il s'agit d'un opérateur de Schrödinger avec champ magnétique, dans lequel on a effectué une rotation complexe sur la variable d'impulsion. On étudie les fonctions propres de H et H* associées au haut du spectre. Après avoir introduit une notion convenable de relevé microlocal, on montre que celui-ci se concentre, dans la limite semiclassique, sur un ensemble invariant de la dynamique classique, l'ensemble d'Aubry-Mather. On essaie ensuite de caractériser plus précisement les limites possibles, parmi les mesures invariantes portées par l'ensemble d'Aubry-Mather. |